Критериального уравнения

Следовательно, по обратной матрице размерностей а можно не только записать формулы для определения экономических вариантов, но и найти значения критериев подобия. Как будет показано далее, это означает одновременное решение прямой и двойственной задач критериального программирования.

Аналогично можно поступить и тогда, когда шкала параметров содержит более двух значений. Для решения более сложной задачи можно использовать некоторые идеи целочисленного программирования. Таким образом, возникает проблема создания целочисленного критериального программирования, которое использовало бы положительные стороны как критериального анализа, так и целочисленного программирования.

§ 3-23. ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЫ КРИТЕРИАЛЬНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Наиболее общий подход к решению оптимизационных задач методами критериального анализа с учетом технических ограничений и составляет сущность критериального программирования.

В общем виде основная задача критериального программирования формулируется следующим образом. Найти минимальное значение функции

Существенной особенностью критериального программирования является то, что в нем центральная роль отводится слагаемым иг(х) критерия оптимальности (3-155):

Таким образом, исходное геометрическое неравенство можно записывать как в форме (3-165а), так и в форме (3-165в). Эти соотношения являются основой для построения теории критериального программирования и в первую очередь для нахождения минимума, т. е. нижней границы обобщенных полиномов. Напомним, что число ц>0 называется нижней границей для функции и(х), если при всех изменениях аргумента в области D, т. е. при x^D, выполняется неравенство и(х) ~^\i.

Обратим внимание на то, что при определении экономического варианта классическим методом дифференциального исчисления первоначально находилось хэ, а потом и(хэ). При использовании же геометрического неравенства, наоборот, первоначально находится и(хй), а затем х9. Именно в этом и заключается принципиальное отличие критериального программирования от классиче-р „ ., ских методов решения оптимиза-

Таким образом, критериальное программирование позволяет вычислить все параметры экономического варианта [хэ, и{хэ)], когда па изменения параметров не накладывается никаких ограничений. Однако методы критериального программирования в некоторых случаях дают возможность найти минимум и при наличии функциональных ограничений, накладываемых на изменение оптимизируемых параметров. Причем эти ограничения мопт быть более общего плана, чем те, которые рассматривались в § 3-17. Покажем эту возможность первоначально на конкретном примере, а затем дадим общую теорию.

Таким образом, минимум функции и(ха) должен быть не менее 60. В действительности минимум функции равен 60. Однако доказать, что найденное значение и(х0) дает действительно минимум, нелегко. Для этого требуется использовать более общую теорию, опирающуюся на основную теорему критериального программирования.

Прежде чем показать, как критериальное программирование позволяет решать оптимизационные задачи с учетом ограничений типа неравенств, сформулируем основную и двойственную задачи критериального программирования.

Коэффициент теплоотдачи а может быть определен на основе критериального уравнения теплообмена в каналах

Определяющий (характерный) размер обычно выбирается исследователем произвольно, но ipn использовании критериального уравнения необходимо знать, какой размер взят в качестве определяющего. Чаще всего в качестве определяющего размера принимают длину поверхности теплообмена в направлении движения жидкости. Теория подобия не определяет однозначно, какой размер должен быть взят в качестве определяющего, однако целесообразно принять такой размер, который в наибольшей степени влияет на процесс. Остальные размеры тогда войдут в критериальное уравнение в качестве безразмерных величин типа L\=l\/L, L2=k/L,....

фициент теплопроводности жидкости или газа, заполняющих щели, ЕК — коэффициент конвекции, значение которого можно определить из критериального уравнения

Расчет коэффициента теплоотдачи внутренних поверхностей блока. Коэффициент теплоотдачи можно найти из критериального уравнения для теплоотдачи тел, омывае-. мых поперечным потоком воздуха. Для значений критерия

В свою очередь, коэффициент теплоотдачи определяется из критериального уравнения Э.Р. Карасиной для трубчаторебристых поверхностей с, шахматным расположением труб:

Другими словами, при использовании критериального уравнения (3-33) задача поиска экономического варианта сводится к определению соотношения между составляющими затрат уравнения (3-30), т. е. к выявлению экономической соразмерности.

Сравнение (3-49) и (3.54) показывает, что для составления критериального уравнения (3-54) необходимо в исходном уравнении константы заменить соответствующими критериями подобия, а параметры и затраты — относительными величинами.

Если исходная формула имеет каноническую форму, то экономические критерии подобия зависят только от показателей ац и не зависят от исходных данных А{. Это свойство критериев подобия называется инвариантностью первого порядка. Данный вид инвариантности лежит в основе исследования экономической устойчивости канонических моделей по критериальному уравнению. Учитывая подобие экономических вариантов, можно распространить результаты исследований критериального уравнения на множество объектов, характеризующихся различным набором исходных данных Ai.

Чтобы использовать данную формулу для приближенного представления критериального уравнения (3-99), определим первые и вторые производные:

Из критериального уравнения следует, что максимальная экономия Э* = 1 достигается при Q = l. Отступление от QK.3> т. е. недоком-пенсация, когда QK*<1, или перекомпенсация, когда QK*>1, приводит к снижению экономии. Причем более чем двойная перекомпенсация приводит к отрицательной экономии, т. е. к увеличению затрат. Этот вывод справедлив для любых участков электрической сети, так как он получен при неизвестных исходных данных Л, па критериальному уравнению.

которое позволяет найти относительное увеличение потерь мощности в линии, если место установки и величина мощности отличаются от экономических значений [см. (3-129)]. Например, если КУ не устанавливается, что Q« = /* = 0 и АР* = 9, т, е. компенсация реактивной мощности в линиях с равномерно распределенной нагрузкой посредством одного нерегулируемого КУ позволяет снизить потери мощности от протекания по линии реактивной нагрузки в девять раз. Такая эффективность компенсации справедлива для всех без исключения линий с равномерно распределенной нагрузкой, так как этот вывод получен из анализа критериального уравнения (3-131).

носит обобщенный характер. Из рассмотрения критериального уравнения следует, что изменение параметра надежности х в пределам ±28% не приводит к увеличению затрат более чем на 5% (3* = 1,05). Поэтому можно считать, что рассматриваемая модель экономически достаточно устойчива.