Контурных уравнений

Рассмотрим составление узловых и контурных уравнений, сводящееся к записи матриц узловых проводимостей'и контурных сопротивлений, а также уравнений со:тояния цепей с зависимыми источниками.

Рассмотрим составление матрицы контурных сопротивлений с помощью наложения напряжений в контурах двух подцепей — подцепи из зависимых источников тока и подцепи из обычных двухполюсных элементов, которая получается при коротком замыкании выводов всех ИНУТ.

Составим матрицу контурных сопротивлений цепи 9.12, а. Преобразовав ИТУТ в эквивалентный зависимый источник напряжения, получим схему (см. 9.12,6) с одним ИНУТ, напряжение которого управляется током ветви К, равным разности токов контуров 2 и 1:

Добавив соответствующую подматрицу Z? цепи при коротком замыкании выводов ИНУТ, получим матрицу контурных сопротивлений

Если первый контур выбрать проходящим через ветви 7?1, LJ и С, то в него, так же как в контур 2, войдет только одна индуктивная ветвь. В этом случае не требуется суммировать параметры — контурная подматрица совпадает с г-матрицей элемента. Составим матрицу контурных сопротивлений цепи ( 9.17) с шестиполюсным индуктивно-связанным элементом, заданным следующей матрицей сопротивлений:

1. Активные цепи, как правило, являются необратимыми, что обусловливает преимущественную передачу сигнала в одном направлении. Соответственно матрицы узловых проводимостей и контурных сопротивлений активных цепей, как было показано в § 9.5, имеют несимметричную структуру.

CZC' — квадратную матрицу контурных сопротивлений порядка п X п. Эту матрицу запишем в виде

Пусть ветвь с сопротивлением Zab входит в контур 1 и является связью в методе контурных токов. Собственное сопротивление этого контура запишем в виде Zu = Zab + Z°n, имея в виду, что Zan есть собственное сопротивление контура, когда Zab = 0. Поскольку выделенная ветвь является связью, то Zab не войдет ни в какие другие элементы матрицы контурных сопротивлений. Согласно методу контурных токов, имеем

Здесь А° — определитель матрицы контурных сопротивлений при условии, что Zab — 0. Учитывая это, предыдущее равенство можно записать в виде

димостеи или матрицы проводимостей сечений и их q — 1 алгебраических дополнений или же к нахождению определителя матрицы контурных сопротивлений и его п алгебраических дополнений. При высоком: порядке этих матриц такое обращение связано с большим числом вычислительных операций. Если воспользоваться формулой Крамера, согласно которой записаны выражения для контурных токов и узловых напряжений в § 5-11, 5-12, т. е. непосредственно раскрыть определители при решении системы с m неизвестными, то потребуется выполнить порядка m -ml арифметических операций. Уже для системы уравнений с m = 15 число операций достигает 2-Ю13. И даже использование мощной вычислительной машины, которая может выполнить 106 операций в секунду, время решения затянется на 2-Ю7 с = 5,5-Ю3 ч. Этими формулами имеет смысл пользоваться, если m <; 10. По этой причине систему уравнений решают главным образом методом исключения по Гауссу (или его разновидностями). Этот метод требует выполнения меньшего числа операция — порядка 2т3. Однако и такой способ решения имеет смысл поименять при т < 1000, так как уже для m = 1000 число операций равно 2-109 и вычислительная машина с производительностью 1 06 операций в секунду такие задачи будет решать в течение 33 мин. Метод непосредственного раскрытия определителей и метод Гаусса позволяют при отсутствии округлений найти точное решение задачи.

В случае относительно простой электрической схемы без взаимной индукции матрица контурных сопротивлений легко записывается непосредственно по заданной схеме. В более сложных случаях матрица контурных сопротивлений может быть получена с помощью матрицы сопротивлений ветвей. Ниже показана связь, существующая между матрицами контурных сопротивлений и сопротивлений ветвей 1. Вывод, сделанный в общей форме, проиллюстрирован на примере простой схемы 7-25, легко решаемом обычным способом.

Из всех методов расчета сложных электрических цепей рассмотрим наиболее универсальный — метод узловых и контурных уравнений. Исходными данными для этого расчета являются сопротивления (или проводимости) пассивных элементов, э.д.с. источников (значения и направления). Требуется определить токи в ветвях заданной электрической цепи. Для узлов и контуров схемы этой цепи можно составить уравнения по законам Кирхгофа (узловые уравнения по первому закону, контурные — по второму).

Для решения задачи выбирают направления токов в ветвях (произвольно), а затем составляют уравнения. Число узловых уравнений в системе должно быть на единицу меньше числа узлов в схеме, а остальные уравнения — контурные. При составлении контурных уравнений выбирают наиболее простые контуры, но с тем условием, что в каждом из них имеется хотя бы одна ветвь, не входящая в другие выбранные контуры. Эти условия обеспечивают независимость уравнений в системе, поэтому любое из них не является следствием других.

Задача 2.9. Составить баланс мощностей для электрической цепи, схема которой представлена на 2.12 в двух случаях: а) переключатель П в положении 3; б) переключатель /7 в положении 0. Для определения токов применить метод узловых и контурных уравнений и проверить решение

Задача 2.10. По условию задачи 2.9 выполнить расчет цепи по схеме 2.12, если переключатель П в положении 4. Для определения токов применить метод узлового напряжения и проверить решение методом узловых и контурных уравнений.

Для разветвленных магнитных цепей можно составить узловые уравнения (?ф = 0) и контурные уравнения (Z/7 = ?///)• Алгебраическое решение системы узловых и контурных уравнений магнитной цепи обычными способами невозможно, так как эта система нелинейная. Поэтому в практике применяют графические и графоаналитические методы расчета разветвленных магнитных цепей.

Из системы контурных уравнений (5.22) можно исключить одну из переменных и получить дифференциальное уравнение первого порядка для каждого контурного тока.

контура, дает систему контурных уравнений:

Формальное введение операторных сопротивлений и проводи-мостей элементов облегчает также составление уравнений, позволяя непосредственно по схеме записать матрицы параметров контурных токов и узловых напряжений по смыслу собственных и взаимных сопротивлений контуров и проводимостей узлов, которые были рассмотрены в гл. 3. Легко убедиться, что диагональные коэффициенты системы (5.59) являются собственными операторными сопротивлениями контуров / и 2, а операторное сопротивление емкости с отрицательным знаком — взаимным сопротивлением.

Уравнения равновесия для комплексных амплитуд составляются по комплексным схемам замещения аналогично случаю резистивных цепей. Поэтому для анализа установившегося режима можно применять все те методы, которые были подробно изложены при рассмотрении анализа резистивных цепей, именно: 1) методы эквивалентного преобразования схем — суммирования сопротивлений (проводимостей) последовательно (параллельно) соединенных ветвей; преобразования источников напряжения и тока; преобразования звезды ветвей в треугольник и обратно; 2) метод пропорциональных величин; 3) методы составления и решения уравнений— узловых и контурных уравнений, уравнений для напряжений дерева и токов хорд; 4) теоремы линейных цепей —наложения, взаимности, эквивалентного источника и т. п. Формально отличие анализа по методу комплексных амплитуд от анализа резистивных цепей будет состоять лишь в том, что коэффициенты всех соотношений и уравнений будут комплексными сопротивлениями и про-водимостями, а переменные — комплексными амплитудами.

Рассмотрим составление узловых и контурных уравнений, сводящееся к записи матриц узловых проводимостей'и контурных сопротивлений, а также уравнений со:тояния цепей с зависимыми источниками.

в левые части контурных уравнений контуров k и / источником, напряжение которого управляется токами согласно (9.43), равны.