Конформных преобразований

Лапласа аналитическими методами (например, методом конформных отображений) оказывается невозможным (см. 4.1, а). Но точно так же уравнением Лапласа описывается и прохождение тока (распределение электрического потенциала) в электролитической ванне (см. 4.1,6). Для моделирования задачи фильтрации в электролитической ванне создается область с такими же граничными контурами, как участок реки под плотиной, и обеспечивается задание граничных условий: выше плотины — потенциал Vi, пропорциональный давлению (т. е. уровню) воды Яв в верхнем бьефе, а ниже плотины — потенциал V0, пропорциональный давлению воды Я„ в нижнем бьефе. На контуре подземной части гидротехнических частей плотины соблюдается условие непротекаемости, т. е.^ = 0, где

Анализ формы скелета лопасти и условий ее обтекания довольно трудно выполнить, используя сечения лопасти поверхностью тока, которая представляет собой поверхность вращения сложной формы. Академик Г. Ф. Проскура разработал и обосновал способ конформных отображений. При помощи конформных отображений любая фигура (линия) на произвольной отображаемой поверхности может быть перенесена на другую выбранную отображающую поверхность. Из свойств конформного отображения вытекает, что угол между определенными элементами и геометрические соотношения элементов сходственных фигур сохраняются.

Метод конформных отображений. Широкое применение в теории решеток нашел метод конформных отображений, позволяющий из известного потока около какого-нибудь контура получать новые потоки около других контуров. При этом для расчета обтекания тела заданной формы в плоскости комплексного переменного z производят конформное отображение этой плоскости на вспомогательную плоскость комплексного переменного при помощи той или иной аналитической функции. В качестве вспомогательной плоскости в теории единичного профиля (а иногда и для решетки профилей) обычно выбирают внешность единичного круга. При исследовании решеток профилей более удобно, однако, в качестве вспомогательной выбирать решетчатую область, например внешность решетки кругов или пластин.

конформных отображений 54, 139 подобия 147

53. Фильчаков И. Ф. Приближенные методы конформных отображений.— Киев: Наукова думка, 1964. — 531 с.

Взаимная емкость ленточных электродов в воздухе С находится методом конформных отображений [7 ].

Решение уравнений методом конформных отображений позволяет получить выражение

Группу аналитических методов объединяет все чисто аналитического порядка приемы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не занятых током), применение методов зеркальных и конформных отображений и др.

(но крайней мере принципиально^ помощью интеграла Кристоффеля—Шварца (см. § М.5). Если же очертания электродов в плоскости таковы, что не могут быть представлены кусочно-ломаными прямыми, то общий метод нахождения функции ш = / (г) для таких задач не известен. Тем не менее метод конформных отображений часто стремятся применить в этом случае, решая задачу обходным путем — просматривают уже известные решения, имеющиеся в учебной и специальной литературе, и пытаются найти такое, в котором форма двух эквипотенциален, если не полностью, совпадает с формой (очертаниями) электродов исследуемого поля, то достаточно близка к ним. Это решение и принимают в качестве искомого.

Французский математик и философ, член Петербургской Академии Наук Ж. Л. Даламбер разработал теорию волнового уравнения и совместно с членами Петербургской Академии Наук Л. Эйлером и Д. Бернулли заложил основы математической физики. Начала теории конформных отображений были созданы Л. Эйлером в 1777 г. Термин «конформный» был введен Петербургским академиком Ф. И. Шубертом в 1789г.

Величина Ь§ называется расчетной полюсной дугой, она отличается от реальной полюсной дуги Ьп ( 2-2, а) на некоторое значение, зависящее от формы полюсного наконечника. Точное значение Ь§ может быть установлено путем построения картины поля в зазоре графическим методом или путем расчета методом конформных отображений. Однако применение этих методов ввиду их большой'трудоемкости каждый раз затруднительно, и поэтому пользуются приближенными соотношениями, установленными соответствующими расчетами для разных очертаний полюсных наконечников. При очертании наконечника, показанном на 2-2, а,

проводится либо путем графоаналитического построения картин поля [22], либо аналитически [23, 24]. При этом необходимо рассчитывать поле под полюсом и в межполюсном пространстве. Поле в межполюсном пространстве рассчитывается на основании метода конформных преобразований.

3.2.2. Метод конформных преобразований. Применение теории функций комплексного переменного к анализу полей в области, ограниченной криволинейными или многоугольными границами, позволяет найти решение, которое трудно, а подчас и невозможно получить другими методами.

При расчете поля межполюсного пространства применяют метод конформных преобразований.

Рассмотрим задачу определения поля в межполюсном пространстве явнополюсной синхронной машины с применением метода конформных преобразований. Поле межполюсного пространства практически не зависит от высоты полюсного наконечника и очертаний полюсной дуги. Оно определяется только распределением магнитодвижущей силы, шириной полюсной дуги (соответственно шириной межполюсного пространства) и зазором под краем полюса.

методом конформных преобразований

Вначале следует указать, что метод конформных преобразований применим для расчета плоскопараллельных полей, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Подчеркнуть, что в основе этого метода лежит преобразование, с помощью функций комплексного переменного, поля сложной конфигурации в поле простой конфигурации. Показать, что в аналитических функциях комплексного переменного вещественная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа. Затем вводят комплексный потенциал и показывают, как определяется через него напряженность поля. Необходимо подчеркнуть, ЧТО нет общего метода нахождения комплексного потенциала для любых конфигураций граничных линий.

Такая схема, напоминающая схему расчета методом конечных элементов, имеет особенность. Некоторые из элементов схемы, воспроизводящих проводимость воздушного зазора, непостоянны и рассчитаны заранее с помощью сеток методами конечных разностей, конечных элементов или аналитическим путем методами конформных преобразований. В память ЭВМ заложены данные этого расчета в виде аппроксимирующих кривых или таблиц. Зубцы и ярма сердечников разбиваются на ряд элементов, размеры которых без внесения заметной погрешности можно выбрать значительно более крупными, чем в методе конечных разностей или конечных элементов. Нелинейные характеристики этих элементов определяют исходя из зависимостей B—f(H) соответствующих материалов. Так же, как и в других методах, магнитная проницаемость внутри отдельного элемента считается постоянной. Магнитное состояние элементов сердечников задается ориентировочно и уточняется при решении системы получившихся нелинейных уравнений методом Ньютона. Расчетная схема по методу проводимости зубцовых контуров при высокой точности воспроизведения поля, особенно в зоне зазора, имеет относительно невысокий порядок, что дает возможность расчета полей при переходных процессах в электрических машинах с учетом влияния зубчатости сердечников, дискретности структуры обмоток, насыщения, наведенных токов. Уравнения всех контуров записываются без дополнительных координатных преобразований.

Такая схема, напоминающая схему расчета методом конечных элементов, имеет свои особенности. Некоторые из элементов схемы, воспроизводящих проводимость воздушного зазора, непостоянны и рассчитаны заранее с помощью сеток методами конечных разностей, конечных элементов или аналитическим путем методами конформных преобразований. В память ЭВМ заложены данные этого расчета в виде аппроксимирующих кривых или таблиц. Зубцы и ярма сердечников разбиваются на ряд элементов, размеры которых без внесения заметной погрешности можно выбрать значительно более крупными, чем в методе конечных разностей или конечных элементов. Нелинейные характеристики этих элементов определяют, исходя из зависимостей В = /Я) соответствующих материалов. Так же как и в других методах, магнитная проницаемость внутри отдельного элемента считается постоянной. Магнитное состояние элементов сердечников задается ориентировочно и уточняется при решении системы полученных нелинейных уравнений методом Ньютона. Расчетная схема по методу проводимости зубцовых контуров при высокой точности воспроизведения поля, особенно в зоне зазора, имеет относительно невысокий порядок, что дает возможность расчета полей при переходных процессах в электрических машинах с учетом влияния зубчатости сердечников, дискретности структуры обмоток, насыщения и наведенных токов. Уравнения всех контуров записываются без дополнительных координатных преобразований.

С помощью теории конформных преобразований доказано, что соотношение (1.26), а следовательно, и (1.29) справедливы для плоской фигуры произвольной геометрической формы. Таким образом, соотношение (1.30) характеризует удельное сопротивление пластины произвольной формы. Описанный метод известен в литературе как метод Ван-дер-Пау. Этот метод можнс применять для измерения удельного сопротивления круглых, пэямоугольных и квадратных пластин. При симметричном расположении измерительных контактов по периферии пластины сопротивления R\ и /?2 одинаковы: /?: —/?2 = /?, а функция f(/?i//?2) = 1. Тогда р=4,532/? = = 4,532(7// и для определения р достаточно одного измерения. Однако из-за неточности в расположении зондов сопротивления R\ и R2 могут несколько различаться между собой. Функцию при Ri/Rz—l можно аппроксимировать следующим образом:

§ 18.4. Метод конформных преобразований

Равномерное поле в плоскости со — наиболее простое из всех лапласовых полей и, как правило, выбирается за основу, с которой связывают решение задачи. Процесс определения любого поля методом конформных преобразований сводится в конечном счете к выводу уравнения ю = /(z), которое связывает точки исследуемого поля в плоскости z с точками в плоскости со. В простейших случаях можно найти зависимость