Комплексную плоскость

Выражение (7.104) имеет важное практическое значение, так как позволяет определить комплексную передаточную функцию Я (/со) по характеру ее реакции на гармоническое воздействие.

Пример. Найдем комплексную передаточную функцию цепи (см. 7.25) по напряжению (комплексный коэффициент передачи). В соответствии с (7.104) получим

Для решения подобных задач спектральным методом необходимо предварительно определить комплексную передаточную функцию

комплексную передаточную функцию можно представить в форме К (/со) = ев <ш> — е4 «» е«р(а». (15.7)

Основываясь на общем выражении (15. П, представим комплексную передаточную функцию К (г'со)в форме

Независимо от размерности этих величин отношение спектральных функций (6.1) на произвольной частоте со будем рас-1 сматривать как комплексную передаточную функцию цепи '

7.1р. По схеме 7.1 найти комплексную' передаточную функцию i/2/U\ (коэффициент передачи по напряжению). Построить графики АЧХ и ФЧХ.

7.37р. По схеме, изображенной _на 7.11, найти комплексную передаточную функцию Uz/U\, а также соответствующие АЧХ и ФЧХ. Выполнить исследование АЧХ и ФЧХ.

7.38. По схемам, изображенным в_ Приложении 4, найти комплексную передаточную функцию L/2/U\, а также соответствующие АЧХ и ФЧХ. Выполнить исследование АЧХ и ФЧХ.

3. Найти комплексную передаточную функцию f/2/f/i, АЧХ и ФЧХ. Рассчитать их на десяти частотах, включая 0 и РО . Проверить совпадение характера качественно и точно построенной АЧХ.

7.1. Для того чтобы найти комплексную передаточную функцию необходимо: 1) ко входу четырехполюсника подключить источник гармонического тоКа или напряжения; 2) любым методом анализа электрических цепей найти необходимые комплексные напряжения или токи на входе и выходе четырехполюсника; 3) взяв отношения комплексных напряжений или токов на выходе и входе четырехполюсника, получить искомую передаточную функцию.

* Следует обратить внимание на то, что при рассмотрении трехфазных цепей комплексную плоскость обычно поворачивайт на угол я/2 против часовой стрелки.

Поле в области, ограниченной сложной кривой в зазоре электрической машины, конформно преобразуется - заменяется эквивалентным полем, каждый бесконечно малый элемент площади которого подобен соответствующему ему бесконечно малому элементу действительного поля, но очертание границ имеет простую форму, для которой расчетные уравнения поля известны. Из всех лапласовских полей наиболее простым является равномерное поле. Оно, как правило, и выбирается за основу, с которой связывают решение задачи. При решении задач определения поля (действительное поле в системе координат х,у) в областях, ограниченных на плоскости z=x+jy многоугольными границами, используют вспомогательную комплексную плоскость ^ = Е, + jr\. При этом вещественная ось плоскости С связывается уравнением преобразования с границей многоугольника, ограничивающего рассматриваемую область поля в плоскости z.

Следует, конечно, иметь в виду, что подлинный физический смысл имеет лишь круговая частота <о, выступающая как мнимая часть комплексной частоты. Однако переход от параметра /<о к параметру р, или, как говорят в математике, аналитическое продолжение функций цепи с чисто мнимой оси /со на всю комплексную плоскость р, имеет глубокое значение. Этот прием дает возможность изучать частотные свойства электрических цепей с помощью хорошо разработанных и очень мощных средств теории функций комплексного переменного.

риваемого частного случая имеет место закон преобразования ком плексной плоскости текущего коэффициента отражения pi==?47' в комплексную плоскость нормированных входных сопротивлений

Эта тема представляет большой интерес для электротехников; этими диаграммами стали пользоваться и радиотехники. Обычно в учебниках сначала излагается чисто геометрическим способом метод инверсий в декартовой плоскости с последующим переходом на комплексную плоскость. Векторные уравнения излагаются позже с использованием теорем из метода инверсий об обращении прямой и круга, не проходящих через полюс. В результате этот раздел выпадает из общего стиля изложения и занимает много времени.

Напротив, коэффициент М, называемый коэффициентом растяжения, меняется от точки к точке, поэтому изменяется и форма отрезков. Например, прямоугольный треугольник ABC ( 18.7,а) на плоскости со трансформировался в криволинейный треугольник abc ( 18.7 б). Изменились соотношения длин сторон, однако углы при вершинах сохранились неизменными. В большинстве задач область исследуемого поля ограничена линиями потока и эквипотенциальными линиями поля. Во многих случаях границы рассматриваемой области представляют совокупность прямолинейных отрезков или могут быть ими аппроксимированы. При нахождении функции to = /(z) часто вводят промежуточные плоскости и переменные. Так, например, при решении задач определения поля в областях, ограниченных на плоскости z многоугольными границами, используют вспомогательную комплексную плоскость t. При этом вещественная ось плоскости t связывается уравнением преобразования с границей многоугольника, ограничивающего рассматриваемую область поля в плоскости г. В результате преобразования верхняя полуплоскость плоскости t отображается во внутреннюю область многоугольника. Затем поле верхней полуплоскости, в свою очередь, отображается в полосу между двумя бесконечными плоскостями с потенциалами фм = 0 и UM комплексной плоскости к» ( 18.7, в). Любая точка поля полосы является комплексным потенциалом <ом = <]JM + /фм соответствующей точки на плоскостях / и z. Таким образом, устанавливается связь между координатами точки поля z и соответствующим ей комплексным потенциалом полосы юм. Модуль напряженности магнитного поля

Это еще раз подчеркивает возможность получения одинаковости результатов сравнения по абсолютному значению и фазе при соответствующем выборе формируемых величин. Практически оказывается целесообразным использовать комплексную плоскость не для сравнения Н\ и Я2, а для сравнения входных величин F\ и F2. Применительно к комплексной плоскости сопротивлений Z можно говорить о комплекс-

чений р, вещественная часть которых положительна, т. е. Rep>0. При этом он равен l/р. Изображение F(p) = l/p единичной функции существует при любых отличных от нуля значениях р, т. е. изображение F(p, t) является аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость аналитической функции, определяемой интегралом Лапласа.

Решение 2-82. Для решения задачи необходимо изобразить комплексную плоскость и нанести на ней векторы, соответствующие комплексам искомых величин. Вектор тока /з должен сов-падать с осью действительных величин по условию задачи ( 13.2.82). Так как XL>XC, вектор напряжения U опережает по фазе ток /з на 90° и, следовательно, будет совпадать с осью мнимых величин.

Решение 3-2. Для решения задачи необходимо изобразить векторную диаграмму фазных и линейных напряжений, как это было сделано в задаче 3-1; затем следует сориентировать относительно векторов комплексную плоскость так, чтобы ось действительных значений совпадала с вектором фазного напряжения йл, как это требуется по условию задачи ( 13.3.2.).

где Л = Ле)(р — комплексная амплитуда колебания. Согласно (2.2) гармоническое колебание на 'комплексной плоскости 'отображается ироекцией ОВ вектора ОС на ось действительных чисел. Этот ^вектор имеет постоянную длину А и вращается в направлении против часовой стрелки с постоянной угловой частотой со0 ( SvSf.--Иногда удобно рассматривать вектор ОС 'неподвижным, а комплексную плоскость — вращающейся в противоположном направлении.