Комплексно сопряженными

15.5. Обратите внимание на то, что величина Si(0) состоит из двух комплексно-сопряженных слагаемых, ко-

Если среди корней характеристического уравнения имеется пара комплексно-сопряженных, например Pi,2 = — Р +jo>i, то

Геометрически запас устойчивости представляет собой расстояние от мнимой оси /со плоскости s до ближайшего к ней вещественного корня или до ближайшей пары комплексно-сопряженных корней ( 13.3). Чем больше запас устойчивости, тем более удалены эти корни от оси /со в левой полуплоскости _s и тем устойчивее схема.

В случае комплексно-сопряженных корней (6 < too)

2. Для весьма коротких каналов, охлаждаемых воздухом, который циркулирует со сравнительно небольшой скоростью (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения), влияние теплопроводности проводника оказывается весьма значительным. Максимальное превышение температуры проводника в этом случае практически не отличается от среднего ( 5-10). Использование упрощенной формулы и здесь целесообразно, но она должна применяться в форме, учитывающей выравнивание температуры по длине канала:

Отметим, что теоретически интересные случаи, такие, как наличие только простых, кратных или комплексно-сопряженных и, в частности, чисто мнимых корней, проявляются уже для уравнений состояния электрических цепей, имеющих только два накопителя энергии: один индуктивный и один емкостный. С ростом числа накопителей энергии в цепях и соответственно с увеличением размерности уравнений состояния новых теоретически интересных случаев не возникает. Растут лишь вычислительные сложности использования выражений (2.3), (2.4). Кроме того, представление решений уравнений состояния через элементы спектрального расщепления матриц (2.3), (2.4) теряет свою наглядность. Представление же решения уравнений состояния через функции от матриц (2.5) фактически не зависит от размерности матрицы А, а определяется только видом изображений Fi(p; t) компонент вектор-функции воздействия. Поэтому при использовании формулы (2.5) также целесообразно ограничиться наиболее простым случаем, когда матрица А имеет размер 2x2. По этим причинам для иллюстрации применения формул (2.3) — (2.5) в следующих параграфах выбраны уравнения состояния RLC-цепеи, содержащих емкостный и индуктивный элементы, и прежде всего уравнение состояния последовательной ^LC-цепи.

В случае комплексно-сопряженных корней в разложении (7.79) достаточно взять удвоенное значение реальной части:

На 8.17,6 показана полюсно-нулевая диаграмма Z(p) для значений элементов, которые обеспечивают два комплексно-сопряженных нуля и один вещественный нуль и два комплексно-сопряженных полюса. Частотная характеристика Z(/o>) получается из Z(p) при p=jo>, т. е. в случае, когда изучается поведение Z(p) на мнимой оси у'со (точки на мнимой оси плоскости р соответствуют вещественным частотам гармонических колебаний). Можно представить функцию Z(p) как поверхность, натянутую над плоскостью р, причем в точках, являющихся полюсами, она «устремляется» в бесконечность, а в точках, являющихся нулями, она «касается» плоскости. Изменение модуля частотной характеристики Z(/oa) с частотой о) «повторяет» изменения поверхности Z(p) над мнимой осью. Качественно это изменение иллюстрируется 8.17, s.

Полюсы этой функции (корни знаменателя): /?, = — 0,177; р2.з= —0,143 ±./'0,597; />4 5 = — 0,0547 +у'0,966. Вещественный полюс />, дает по теореме Виета сомножитель первого порядка (р— pl )=/> + 0,177; первая пара комплексно-сопряженных полюсов Рг и />з " сомножитель второго порядка (р—р2)(р—Рз)=Р2 + 0,286/7 + 0,377; вторая пара полюсов р4 и /?5 — сомножитель (р—р4)(р—р$)=р2 + 0,1 Юр + 0,936. Тогда

В случае комплексно-сопряженных корней решение содержит слагающие затухающих колебаний.

Такая запись принята в формуле (10) табл. 12-1. Аналогично получены формулы (11) — (13). Для комплексно сопряженных корней р\ = —а=—а+/Р; />2=—Ь — = —а—/Р достаточно заменить ц на /р4. Такая запись принята, например, в формуле (14).

Так как рассматриваемое колебание узкополосно, то спектральная плотность комплексной огибающей на входе линии концентрируется в узкой полосе частот вблизи нуля. Поэтому можно приближенно распространить интегрирование в (7.11) на весь бесконечный интервал частот. Далее, оба интеграла в (7.11) по отношению друг к другу являются комплексно-сопряженными, так что

Параллельная структура фильтра получается при представлении К (z) в виде суммы простых дробей. Так как два^ полюса К (z) являются комплексно-сопряженными, разложение K(z) ищем в форме

В том случае, когда два корня характеристического уравнения являются числами комплексно-сопряженными, общее решение уравнения (5-5) будет иметь вид

2. В силу вещественности коэффициентов рациональных полиномов числителя и знаменателя нули и полюсы входного сопротивления могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными, либо и теми и другими.

* Тот же результат получится, если исходить из общего решения однородного дифференциального уравнения с комплексно-сопряженными корнями:

тельный корень, остальные же корни могут быть действительными или комплексно-сопряженными; характеристическое уравнение четной степени имеет четное число действительных или комплексно-сопряженных корней. Действительные части всех корней характеристического уравнения всегда отрицательны, что физически обусловлено затуханием свободных составляющих в пассивных цепях с течением времени. При этом все коэффициенты характеристического уравнения должны быть действительными и положительными.

Если расположенные в левой полуплоскости нули функции Z (р) лежат на действительной оси, то имеет место апериодический процесс: совмещению нулей в одной точке отвечает критический случай; наконец, если нули функции Z (р) являются комплексно-сопряженными, то имеет ме-

* Тот же результат получится, если исходить из общего решения однородного дифференциального уравнения с комплексно-сопряженными корнями:

Корни характеристического уравнения могут быть действительными или комплексными. Если корни комплексные, то они всегда образуют комплексно сопряженные пары. В связи с этим характеристическое уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень, остальные же корни могут быть действительными или комплексно-сопряженными; характеристическое уравнение четной степени имеет четное число действительных или комплексно-сопряженных корней. Действительные части всех корней характеристического уравнения всегда отрицательны, что физически обусловлено затуханием свободных составляющих в пассивных цепях с течением времени. При этом все коэффициенты характеристического уравнения должны быть действительными и положительными.

2. Нули и соответственно полюсы рациональной положительной действительной функции могут быть действительными или комплексно-сопряженными.

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только /?, и #2 (Р\.ч — ~ е ±/wo)> но и Л! и Л2. Поэтому свободный ток -)(.