Комплексного переменного

Подставляя значения Ur и UL в (5.35), получим уравнение для комплексного напряжения на входе схемы:

Фазочувствительные вольтметры (векторметры) служат для измерения квадратурных составляющих комплексных напряжений первой гармоники. Их снабжают двумя индикаторами для отсчета действительной и мнимой составляющих комплексного напряжения. Таким образом, фазочувствительный вольтметр дает возможность определить комплексное напряжение, а также его составляющие, принимая за нуль начальную фазу некоторого опорного напряжения. Фазочувствительные вольтметры очень удобны для исследования амплитудно-фазовых характеристик четырехполюсников, например усилителей. Они работают в диапазоне частот 0,5 Гц— 100 кГц, имеют чувствительность 0,1 — 1 мВ и погрешность 2,5-4%.

Модуль комплексного напряжения в диагонали

По уравнению для комплексного напряжения на входе цепи можно построить векторную диаграмму тока и напряжений электрической цепи, принимая во внимание, что умножение вектора напряжения на множитель (+/') соответствует повороту его относительно вектора тока на угол л/2 в направлении отсчета положительных углов (против часовой стрелки), а умножение на множитель (—/') —повороту вектора напряжения на угол л/2 по часовой стрелке.

Полученное ранее уравнение для подводимого к электрической цепи комплексного напряжения с учетом его составляющих преобразуется к виду

Одним из важнейших показателей, характеризующих свойства усилителя, является его комплексный коэффициент усиления, который в общем случае можно представить как отношение комплексного напряжения на выходе усилителя к комплексному напряжению на его входе:

как отношение комплексного напряжения на выходе цепи

Аргумент комплексного напряжения U2: tg\)u =——= 1.

Аргумент комплексного напряжения 11з\: tgq>34 = -~ —

по напряжению: Ки — /Co/V + (WT» — 1/шт?,), где /Со — коэффициент усиления по напряжению каскада на средних частотах /?!>Лп, /Со = /121ЯкЯн/(/?к + /?-и+/122/?и/?к), где TB — постоянная времени усилительного каскада на верхних частотах (т„= Со/?вых = СоХ ХЯкЯн/(Як + R« + /i22#J?«); тн — постоянная времени усилительного каскада на нижних частотах без учета влияния емкости СТн= Сс/?вы.х = Сс/?к/?н//?к + /?н + ЛгаЛк/?... На практике используется схема с общим эмиттером, так как она позволяет усиливать не только напряжение, но также ток и мощность. Типовая схема усилительного каскада с общим эмиттером показана на 6.1.11. Резисторы R\, R%, /?K в схеме обеспечивают необходимые значения постоянных напряжений на коллекторном и эмиттерных переходах при питании всех цепей транзистора от одного общего источника питания Е». Резистор R, обеспечивает температурную стабилизацию рабочей точки, что для транзисторных усилительных схем очень существенно. С ростом температуры постоянная составляющая тока эмиттера /,о возрастает, вследствие чего увеличивается падение напряжения /?,/,п на резисторе /?„ при этом потенциал эмиттера относительно базы снижается, что уменьшает постоянную составляющую тока базы и ограничивает степень нарастания тока покоя в цепи коллектора. Для устранения этого воздействия при прохождении по цепям транзистора переменных составляющих резистор /?, шунтируется конденсатором С,. Конденсаторы С\ и Сс предназначены для предотвращения попадания постоянной составляющей тока от источника питания и сигнала на выход и вход усилительного каскада. Одним из важнейших показателей, характеризующих свойства усилителей, является его комплексный коэффициент усиления, который в общем случае можно представить как отношение комплексного напряжения на выходе усилителя к комплексному напряжению на его входе: /С= U_*^/U_,> =

При этом комплексное напряжение U_CA является зеркальным изображением комплексного напряжения UBC на оси вещественных чисел, поэтому выражение для него записывают в виде: Ц_СА = (—0,5 + /86,6) В, т. е. это напряжение является сопряженным по отношению к напряжению UBC с противоположным знаком перед мнимой частью.

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода.

где функция времени /(f) - однозначная, называемая оригиналом, определенная при t > 0, интегрируемая в интервале времени 0 — °° ' и равная нулю при t < 0; F(p) — функция комплексного переменного р = о + /со при Rep = а > 0, называемая лапласовым изображением.

Перейдем к построению линии переменного параметра. Из теории функций комплексного переменного следует, что линия переменного параметра определяется сопряженным

Трехфазная симметричная система э.д.с. может изображаться графиками, тригонометрическими функциями, векторами и функциями комплексного переменного.

3.2.2. Метод конформных преобразований. Применение теории функций комплексного переменного к анализу полей в области, ограниченной криволинейными или многоугольными границами, позволяет найти решение, которое трудно, а подчас и невозможно получить другими методами.

ской точки зрения преобразования Лапласа являются функциональными, в них функция вещественного переменного ставится в соответствие функции комплексного переменного р. Таким путем при преобразовании по Лапласу дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения относительно величины р. Существует еще операторная форма записи дифференциальных уравнений, при которой действие дифференцирования обозначается знаком

Современная теория цепей прочно опирается на фундаментальные дисциплины. Она органически включает в себя многие положения из раздела «Электричество и магнетизм» вузовского курса физики [13]. Многообразны также математические методы, используемые теорией цепей, — алгебра комплексных чисел, матричное исчисление, теория функций комплексного переменного и теория дифференциальных уравнений [6], [7], {12].

Следует, конечно, иметь в виду, что подлинный физический смысл имеет лишь круговая частота <о, выступающая как мнимая часть комплексной частоты. Однако переход от параметра /<о к параметру р, или, как говорят в математике, аналитическое продолжение функций цепи с чисто мнимой оси /со на всю комплексную плоскость р, имеет глубокое значение. Этот прием дает возможность изучать частотные свойства электрических цепей с помощью хорошо разработанных и очень мощных средств теории функций комплексного переменного.

7. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.— М.: Физматгиз, 1958 и послед, издания.

15. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного я их применения.— М.: Высшая школа, 1988.

В теории функций комплексного переменного формулы вида (5.4) называют дробно-линейными преобразованиями [5]. Для рассмат-