Комплексной плоскости

Данная формула определяет собой прямое преобразование Лапласа. Изображение является функцией комплексной переменной р. Эта функция аналитична, т. е. бесконечно дифференцируема в полуплоскости Rep>c. Краткая запись f (t)-*-*~F (р) означает взаимно-однозначное соответствие между оригиналом и изображением.

На плоскости комплексной переменной со подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках с координатами ct)i=/corp и о>2=//тэ. Находя вычеты

зить правую полуплоскость комплексной переменной Z'Sz на внутреннюю область единичного круга, лежащего в плоскости переменной рг. Остальная часть плоскости рг нас в данном случае не интересует, поскольку она соответствует случаю нагрузки линии не на пассивный двухполюсник, а на источник колебаний (генератор).

С помощью интеграла (10.41), называемого прямым преобразованием Лапласа, заданная функция вещественной переменной t (оригинал) преобразуется в функцию комплексной переменной (комплексной частоты) s, называемую изображением оригинала.

Умножение оригинала на вещественную переменную соответствует дифференцированию изображения по комплексной переменной со знаком «минус».

Теорема смещения переменной в частотной области устанавливает, что если изображению F(s) соответствует оригинал f(t), то изображению, полученному путем смещения комплексной переменной на s0, соответствует умножение исходного оригинала на e-s°':

а. При изменении комплексной переменной на вещественную величину s0 = ±an все нули и полюсы исходного изображения сместятся на плоскости комплексной частоты параллельно вещественной оси: влево— при знаке «плюс» и вправо — при знаке «минус». Если исходное изображение F1($) =X[fl(t)], то указанному смещению в комплексной области, согласно (10.83), соответствует временная функция

б. Изменение комплексной переменной на мнимую величину s0 = гр /со„ означает смещение нулей и полюсов изображения на эту величину параллельно мнимой оси — вверх при знаке «минус» и вниз при знаке «плюс». Согласно (10.84), смещению на гр/со0 переменной изображения Ft (s) = X \fl (t)] соответствует умножение оригинала на экспоненту с мнимым аргументом:

Подобную картину образуют линии потока и линии равного магнитного потенциала магнитного поля внутри угла между двумя бесконечными ферромагнитными плоскостями, проекции которых совпадают с осями координат х, у. Пусть имеется некоторая функция комплексной переменной ю = v + ju, вещественная и мнимая составляющие которой — однозначные функции х, у: v = fi(x, у), и = fz(x, у), т. е. функция комплексной переменной «о = f(v, и) является в то же время функцией координат х, у плоскости z: to = /(z). В этом случае каждому значению z = х + jy, определяющему положение какой-либо точки на плоскости z, соответствуют некоторое значение ю = v + ju и определенная точка на комплексной плоскости со. Примем, что v = хг — г/2 и и = 2ху. Тогда точка А на плоскости z ( 18.7, а) соответствует точке а на плоскости со с координатами юа = 0 + /2 ( 18.7, б), точка В — точке Ъ с юь = 16 + /30 и точка С — точке с с w с — 24 + /10. Каким-либо отрезкам на плоскости z, например АС и СВ, на плоскости со соответствуют отрезки ас и cb. Очевидно, что конфигурация отрезков претерпела изменение, однако угол, под которым отрезки пересекаются, остался неизменным. Криволинейные области, заключенные между v и и на плоскости z, превратились в прямоугольники на плоскости со.

Они представляют собой рациональные функции комплексной переменной р, следовательно, определители А и Дп (при раскрытии которых выполняются только операции умножения и сложения) также будут рациональными функциями переменной р.

Таким образом, можнэ утверждать, что входное сопротивление .RLC-двухполкклика, равное отношению рациональных функций, представляет собой рациональную дробь, т. е. является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р.

Комплексными числами и векторами на комплексной плоскости изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, ток и напряжение, а также полные сопротивление и проводимость, полная мощность и некоторые другие параметры цепи.

Как известно из курса математики, комплексное число (" = а + jb, i не j = [/ — 1, имеет две составляющие — действительную и и мнимую Ь, которые являются координатами точки на комплексной плоскости ( 2.23, а). Комплексная плоскость представляет собой прямоугольную систему координат. По одной оси, называемой действительной и обозначаемой ( + ), ( -), откладывается действительная составляющая комплекса (а), по другой оси, называемой мнимой и обозначаемой (+j), (— j),— мнимая составляющая комплекса (/)).

Комплексное число обозначается чертой под буквенным обозначением. Комплексное число может быть представлено вектором, длина которого является модулем комплекса, а положение определяется углом а относительно положительной действительной оси комплексной плоскости ( 2.23, и).

2.23. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости (а), сложение (6) и умножение (в) комплексов

и является проекцией вращающегося вектора /„, на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени

Таким образом, комплексная амплитуда изображав! синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени г = 0.

2.24. Изображение напр'яжения и тока в виде векторов на комплексной плоскости (а и 6) электрических цепей (в и г)

Если v/[ > \/2, то векторы напряжения и тока расположены на комплексной плоскости так, как показано на 2.24, а. Напряжение опережает по фазе ток, так как векторы вращаются против часовой стрелки и, следовательно, цепь имеет активно-индуктивный характер ( 2.24, в).

Расчетные значения токов и напряжений изображают в виде векторов на комплексной плоскости. Затем строят векторную диаграмму напряжений по уравнению

Вектор напряжения сети совмещают с положительной действительной осью комплексной плоскости: U = Uejo = 300.