Комплексным потенциалом

Линия передачи, подобная той, которая изображена'на 7.1, на всех частотах характеризуется комплексным коэффициентом распространения Y^) = а(<о) +/р(<о):

Под комплексным коэффициентом трансформации трансформатора понимают отношение

Комплексная амплитуда /г^й гармоники, включающая начальную фазу, называется комплексным коэффициентом ряда

К важнейшим характеристикам усилителей относятся амплитудно-фазовая и амплитудная. Амплитудно-фазовая характеристика /С (/со) называется обычно комплексным коэффициентом усиления. Коэффициент усиления определяется как отношение амплитудных или эффективных значений выходного синусоидального напряжения ко входному синусоидальному напряжению:

Трансформаторные ветви представлены Г-образной схемой замещения и идеальным трансформатором с комплексным коэффициентом трансформации

В рассматриваемых выражениях функция W (/со) характеризует динамические свойства самого измерительного преобразователя и не зависит от характера входного сигнала. Она легко может быть получена из передаточной функции преобразователя (4.4) путем замены символа s на /со. Функция W (/со) от непрерывного аргумента называется амплитудно-фазовой характеристикой ИП, или комплексным коэффициентом преобразования. Модуль амплитудно-фазовой характеристики W (/со) характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при преобразовании последнего в ИП, а аргумент ее — фазовый сдвиг сигнала. Функция W (/со) = k (со) получила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ИП, а функция arg W(/co) = ф (со) — фазочастотной характеристики (ФЧХ) ИП.

Если входной сигнал представляется функцией t/i(/eo), а отношение ?/2(/cu)/t/i(/cu) выражается комплексным коэффициентом усиления //(/со), то искомый спектральный состав сигнала на выходе Uz(j
Оценим эту погрешность. Остановимся сначала на погрешности ваттметров поглощающего типа при измерении мощности источника колебаний ( 6.1о). Положим, что линия передачи длиною / имеет пренебрежимо малые потери. Выразим мощность, поглощаемую в нагрузке ваттметра. Нагрузку будем характеризовать комплексным коэффициентом отражения Гн= Гне1фн, а генератор Гг= Гне<'г , отнесенными к некоторым произвольно выбранным плоскостям отсчета на линии (1 и 2). Вследствие многократных отражений от нагрузки и генератора образуются падающая и отраженная волны напряженности поля. Мощность, поглощенная в нагрузке РПогЛ, может быть записана в виде:

::1:::Рассмотрим гшержто^г { 13.2), выполненный на базе усилителя с комплексным коэффициентом усиления Я=Д'е]ч>я и положительной обратной связью с комплексным коэффициентом пе-

Эквивалентная цепь с переменными параметрами, представляющая в составе систем звено, в котором действует мультипликативная помеха, характеризуется в общем случае комплексным коэффициентом передачи

Пусть система, находясь в разомкнутом состоянии ( 7.14, а), характеризуется комплексным коэффициентом передачи /С(/ю). В замкнутом состоянии ( 7.14,6) та же система характеризуется коэффициентом передачи

Любая точка полосы является комплексным потенциалом и» = и + jv соответствующей точки на плоскостях ^ и z. Таким образом, устанавливается необходимая связь между координатами точки поля z и соответствующим ей комплексным потенциалом полосы w.

Напротив, коэффициент М, называемый коэффициентом растяжения, меняется от точки к точке, поэтому изменяется и форма отрезков. Например, прямоугольный треугольник ABC ( 18.7,а) на плоскости со трансформировался в криволинейный треугольник abc ( 18.7 б). Изменились соотношения длин сторон, однако углы при вершинах сохранились неизменными. В большинстве задач область исследуемого поля ограничена линиями потока и эквипотенциальными линиями поля. Во многих случаях границы рассматриваемой области представляют совокупность прямолинейных отрезков или могут быть ими аппроксимированы. При нахождении функции to = /(z) часто вводят промежуточные плоскости и переменные. Так, например, при решении задач определения поля в областях, ограниченных на плоскости z многоугольными границами, используют вспомогательную комплексную плоскость t. При этом вещественная ось плоскости t связывается уравнением преобразования с границей многоугольника, ограничивающего рассматриваемую область поля в плоскости г. В результате преобразования верхняя полуплоскость плоскости t отображается во внутреннюю область многоугольника. Затем поле верхней полуплоскости, в свою очередь, отображается в полосу между двумя бесконечными плоскостями с потенциалами фм = 0 и UM комплексной плоскости к» ( 18.7, в). Любая точка поля полосы является комплексным потенциалом <ом = <]JM + /фм соответствующей точки на плоскостях / и z. Таким образом, устанавливается связь между координатами точки поля z и соответствующим ей комплексным потенциалом полосы юм. Модуль напряженности магнитного поля

Функция ? = V + JU, вещественная часть которой есть функция потока, а мнимая — потенциал, называется комплексным потенциалом пол я.

Следовательно, функция t, = Л/In z + С определяет поле, линии напряженности которого являются лучами, исходящими из начала координат ( 6-10). Линии равного потенциала являются окружностями с центром в начале координат и поверхности равного потенциала — поверхностями круговых цилиндров. Если мы совместим с одной из этих поверхностей поверхность заряженного провода кругового сечения, то для поверхности провода будет удовлетворено основное требование — постоянство потенциала. Следовательно, можно утверждать, что рассматриваемая функция является комплексным потенциалом поля вне провода.

Функцию w называют комплексным потенциалом. Он описывает совокупность СИЛОВЫХ И ЭКВИПОТеНЦИаЛЬНЫХ ЛИНИЙ ПОЛЯ, т. е. ортогональную сетку или картину поля. Функцию U называют потенциальной функцией, а V — функцией потока (так как через нее может быть найден поток вектора, характеризующего это поле.)

Аналогично для второй составляющей. Функция w = и + jv называется комплексным потенциалом, одна из составляющих этой функции — функцией потенциала, а другая — функцией потока.

(? = + /т) можно рассматривать как параметр, связывающий точки г = х + jy изучаемой области с комплексным потенциалом в этих точках).

Как известно, комплексным потенциалом w = f (г) определяется в плоскости г в общем случае криволинейная ортогональная система эквипотенциальных и силовых линий и = const, v = const. Отвлекаясь от физического содержания этой функции, можно истолковать ее чисто геометрически как функцию, преобразующую Криволинейную систему координат плоскости г в декартову систему с осями и, v плоскости w. При этом область плоскости 2, ограниченная криволинейными координатными линиями ult «2, vly v2, преобразуется в соответствующий прямоугольник плоскости w с выпрямлен-

Функция С, - V+jU, вещественная часть которой есть функция потока, а мнимая — потенциал, называется комплексным потенциалом поля.

Следовательно, функция С, = Aj In z + С определяет поле, линии напряженности которого являются лучами, исходящими из начала координат ( 24.10). Линии равного потенциала являются окружностями с центром в начале координат, и поверхности равного потенциала — поверхностями круговых цилиндров. Если совместим с одной из этих поверхностей поверхность заряженного провода кругового сечения, то для поверхности провода будет удовлетворено основное требование — постоянство потенциала. Следовательно, можно утверждать, что рассматриваемая функция является комплексным потенциалом поля вне провода.

6. На каком основании можно заключить, что функция С, = Aj In z + С является при соответствующем выборе постоянных комплексным потенциалом электрического поля заряженного провода круглого сечения?

5. (Р) Выразите производную комплексного потенциала через составляющие Нх, Ну напряженности магнитного поля. Какие операции следует выполнить над комплексным потенциалом для получения выражения Нх + jHy?