Интеграла вероятности

Ha практике более часто определяют вероятность того, что погрешность измерений по абсолютной величине не превысит некоторого значения Ашах = а. При нормальном законе распределения эта вероятность записывается в виде интеграла вероятностей

При нормальном законе распределения по таблице интеграла вероятностей можно определить значения доверительных интервалов. При увеличении доверительных интервалов значения доверительных вероятностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. Например, для доверительного интервала от 8i = — о до бг=+о доверительная вероятность Р равна 0,68. Следовательно, вероятность того, что случайная погрешность не превышает среднего квадратического значения, равна 0,68. Так как вероятность появления случайной погрешности для доверительного интервала от 6i= — оо до 6s = + оо равна единице, то вероятность появления погрешности по абсолютному значению, превышающей 0, равна 1 — 0,68=0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь погрешность, большую а.

При помощи интеграла вероятностей можно вычислить вероятность P(xi
Нужно при этом иметь в виду, что Ф'( — /) = — Ф(/). Для определения интеграла вероятностей необходимо знать параметры нормального закона распределения W, среднее значение 6(7 от f/H и величину а. Среднее значение принимается по показаниям интегрального вольтметра, а а вычисляется по данным практического замера.

Зная значения интеграла вероятностей, можно определить вероятное время работы сети с различными отклонениями напряжения.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то для подсчета WT, WB, Ws используются табулированные значения интеграла вероятностей (функции Лапласа).

Некоторые значения интеграла вероятностей <0(г)

'Фадеева В. Н. иТерентьев Н. М. Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента. Гостехиздат, 1954.

Таблица интеграла вероятностей V(x)=

Приложение II.' Таблица интеграла вероятностей V(x)=—;— \е~г ^dz

По таблицам интеграла вероятностей (см. приложение 3), используя зависимость р = Ф(а), при заданном значении 5 определяем а — г]/п,(рд) и далее находим минимальное число испытаний:

Используя численные методы решения трансцендентных уравнений и вычисления интегралов или табулированные значения интеграла вероятности, находим /гр = 370 Гц.

где Ф((с)(-) — k-я производная от интеграла вероятности, а при полученных значениях ka и ke роль второго и третьего членов ряда значительна.

= —— e~z—первая производная интеграла вероятности.

Предельную погрешность и доверительный интервал выражают через среднеквадратическое отклонение. Для нормального закона распределения доверительный интервал по заданной доверительной вероятности (и наоборот) опреде-ляют-при помощи таблицы интеграла вероятности (табл. П4). Задаются доверительной вероятностью Р [[ х — Ах \ =sg ^ 20~] = а, например 0,95. По таблице находят Ф (г) =

нию интеграла вероятности Ф (г) = 0,99 находим г = 2,58. Границы интервала А = ±га^ = 2,58-0,8 = 2 Ом. Результат измерения записываем в такой форме: R = 593 ± 2 Ом; Р «* 0,99.

поэтому сначала определяют а = вУ п (pq), а затем по таблицам интеграла вероятности находят fi —Ф(ос).

По таблицам интеграла вероятности находим Ф (1,11) =_ 0.733. Следовательно искомая вероятность равна 0,733. Если снизить требование к точности, приняв р- 0.01, то а -2,22; р"=-Ф (2,22) = 0,973, т. е. вероятность непревышения такой ошибки возрастет с 0 733 до 0,973. Если еще снизить требование к точности, то при t 0,02 значение а- 4,44 и р4 =Ф (4,44) --=0,999994.

Задача 3. Найти максимальное отклонение относительной частоты события от его вероятности р при числе испытаний п, имеющее заданную вероятность р". По величине вероятности р> = Ф(а) из таблиц интеграла вероятности находим ос, а затем

По значению Ф (а) —0,98 с помощью таблиц интеграла вероятности определяем ос- 2,33, тогда

Поэтому сначала определяют а = е"/—, а затем по таблицам интеграла вероятности находят 8 = Ф(с).

По табчицач интеграла вероятности Ф (1,11) = 0,773. Следовательно, искомая вероятность равна 0,733. Есчи снизить требование к точности, приняв е г^ 0,01, то а = 2,22; jj = Ф (2,22) = 0,973, т. е. вероятность непревышения такой ошибки возрастет с 0,733 до 0,973. Если еще снизит;, требование л точности, то при отклонении е = 0,02 а = 4,44 и Js = Ф (4,44) = 0,999994.