Гауссовской случайной

т=\, М, 1=1, а, Л = 1, Nt, i = 0, /, — векторы-столбцы непрерывных функций средних значений тех гауссовских случайных процессов, вероятностные смеси которых составляют полигауссовы модели (5.22);

Матрица размера nxw с элементами ц/, называется ковариационной матрицей случайных величин Xt, /=1, 2, ..., п. Мы встретимся с ковариационной матрицей при обсуждении совместных гауссовских случайных величин в разделе 2.1.4.

Сумма п статистически независимых гауссовских случайных величин также является гауссовской случайной величиной. Чтобы это продемонстрировать, предположим

Для обобщения результатов предположим, что Y является суммой квадратов гауссовских случайных величин, определенных (2.1.108). Все Xt, i = l,2,...,n, предполагаются статистически независимыми со

Предположим, что Xt, /=1, 2, ... и являются гауссовскими случайными величинами со средними от,, г=1, 2...п, дисперсиями ст,2, /=1, 2, ... п и ковариациями ц,у, 1= /=1, 2, ... п. Ясно, что Л,=ст,2, /=1, 2, ... п. Пусть М -[это матрица ковариаций размерности ихи с элементами {ц/,}. Пусть X определяет nxl вектор-столбец (случайных величин и пусть тх означает их! вектор-столбец средних значений ш„ /=1, 2, ... «. Совместная ФПВ гауссовских случайных величин А",-, /=1, 2 ... /?, определяется так

Подставляя выражение М"1 в (2.1.150), получаем для двухмерной ФПВ гауссовских случайных величин

Таким образом, мы показали, что линейное преобразование ряда совместно гауссовских случайных величин приведёт к другому ряду также совместно гауссовских величин.

2.5. а) Пусть Хг и Xt - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями. Покажите, что преобразование (поворот) вида Yr +jYj = (Xr + jXi)e^ порождает другую пару (Yr,Yt) гауссовских случайных величин, которые имеют ту же СФПВ, что и пара (Хг Д ,. ) .

. гауссовских случайных величин из а) определите, какие свойства должны быть у матрицы (преобразования) А , для того, чтобы ФПВ X и Y, где Y = АХ , X = (Х: Х2 . . Хп ) и Y = (У, У2 . . .Уя ) , были бы одинаковыми.

2.14. Пусть X(t) является вещественным стационарным гауссовским процессом с нулевым средним. Луга новый процесс определен как Y(t) = X2(t). Определите автокорреляционную функцию Y(f) чере автокорреляционную функцию X(t). Подсказка: используйте результат для гауссовских случайных величин и задачи 2.7. j:

Таблица 3.4.2. Оптимальные размеры шага при равномерном квантовании гауссовских случайных величин

В качестве примера обратимся к широко распространенной модели гауссов-ского случайного процесса. Вначале рассмотрим стационарный гауссовский белый шум с нулевым средним значением (n(t)}. Для него характерно, что любой его отсчет n/,=n(tk) является гауссовской случайной величиной, т. е. имеет гаус-совскую плотность вероятности

Для определенности временно конкретизируем вид плотности вероятности помехи wn(n), предположив, что помеха является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и известной дисперсией <тп2:

2.1.8. Графики ФПВ (а) и ИФР (6) гауссовской случайной величины

Характеристическая функция гауссовской случайной величины со средним тх и дисперсией а2 равна

Центральные моменты гауссовской случайной величины равны

Сумма п статистически независимых гауссовских случайных величин также является гауссовской случайной величиной. Чтобы это продемонстрировать, предположим

Следовательно, Y является гауссовской случайной величиной со средним /му-и дисперсией ст^2.

Хи-квадрат-распределение. Случайная величина с хи-квадрат-распределением порождается гауссовской случайной величиной, в том смысле, что ее формирование можно рассматривать как преобразование последней. Для конкретности, пусть Y = X2, где А"- гауссовская случайная величина. Тогда Y имеет хи-квадрат-распределение. Мы различаем два вида хи-квадрат распределения. Первое называется центральным хи-квадрат-распределением, и получается, когда X имеет нулевое среднее значение. Второе называется нецентральным хи-квадрат-распределением, и получается, когда X имеет ненулевое среднее значение.

Теперь рассмотрим нецентральное хи-квадрат-распределение, которое является результатом возведения в квадрат гауссовской случайной величины с ненулевым средним. Если X - гауссовская случайная величина со средним тх и дисперсией ст2, случайная величина Y=X2 имеет ФПВ

Но это как раз характеристическая функция гауссовской случайной величины нулевым средним и единичной дисперсией. Таким образом, мы имеем важный результа^ ФПВ суммы статистически независимых и одинаково распределенных случайных велич! с ограниченным средним и дисперсией приближается к гауссовской при п—не. Этф> результат известен как центральная предельная теорема. ^

2.4. Предположим, что X является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией.