Граничной коллокации

При напряжении на р-/г-переходе, равном нулю, граничная концентрация неосновных носителей заряда равна равновесной. С ростом прямого напряжения (ы>0) граничная концентрация неосновных носителей заряда растет, что соответствует явлению инжекции. При обратном напряжении (ы<0) граничная концентрация неосновных носителей падает, что соответствует явлению экстракции.

зависимость экспоненциальна, а в выбранном масштабе — прямая, проходящая через значение равновесной концентрации неосновных носителей заряда при и = 0. При больших прямых токах, т. е. при напряжениях на р-и-переходе, стремящихся к контактной разности потенциалов, изображать зависимость не имеет смысла. При больших обратных токах граничная концентрация неосновных носителей заряда стремится к значению JP/(qvp max).

Размерность скорости рекомбинации на омическом переходе та же, что и размерность скорости движения, так как плотность потока носителей — это произведение концентрации на скорость (Фр = рир). Очевидно, что чем больше скорость рекомбинации, тем меньше при данном потоке носителей заряда отклонение концентрации носителей от равновесной, тем выше качество омического перехода. При большой плотности потока носителей заряда граничная концентрация существенно превышает равновесную концентрацию тех же носителей (ргр^>/7о), так как скорость движения носителей ограничена. Следовательно,

Изменение условий на выпрямляющем и омическом переходах. Граничная концентрация неосновных носителей заряда около p-n-перехода при больших прямых напряжениях перестает экспоненциально зависеть от напряжения на переходе (см. §2.3). Можно считать, что при очень больших прямых напряжениях р-/г-переход полупроводникового диода как бы исчезает и диод становится похожим на резистор с переменным сопротивлением.

а путь емкостной составляющей тока; б- -форма импульса тока и напряжения на эмиттерном переходе (граничная концентрация неосновных носителей заряда в базе около эмиттерного перехода)

гировать при заданном значении сопротивления нагрузки и ЭДС источника питания в цепи коллектора. Поэтому в базе транзистора около коллекторного перехода начинает расти граничная концентрация неосновных носителей заряда. Когда эта граничная концентрация неосновных носителей заряда превысит значение равновесной концентрации неосновных носителей заряда, транзистор перейдет из активного режима в режим насыщения. В этот момент (кривая 4 на 4.43,в) ток коллектора

Распределение концентрации дырок в базе р(х) для последовательных моментов времени показано на 1.28, а. Ток дырок при низком уровне инжекции в я-базе переносится за счет диффузии Ip~dp/dx. Поэтому при скачке тока через р-п переход концентрация дырок меняется таким образом, что градиент концентрации дырок dp/dx при х=0 в любой момент времени постоянен. Увеличение концентрации дырок рп\ при х=0 соответствует увеличению напряжения на ОПЗ р-п перехода U, так как граничная концентрация дырок связана с приложенным напряжением соотношением (1.97). Таким образом, напряжение U в течение переходного процесса включения возрастает от 0 до установившегося значения (см. 1.27, е). Это указывает на емкостный характер сопротивления р-п перехода. При низком уровне инжекции сопротивление базы постоянно. Поэтому падение напряжения f/в =//"БО повторяет форму импульса тока. Полное падение напряжения на диоде ?/д = ?/ + /ГБО зависит от времени так, как показано на рис 1.27,5.

их рекомбинации с электронами и за счет ухода дырок в /9-область перехода. Непосредственно перед моментом переключения распределение дырок (кривая / 1.28,6) соответствует протеканию тока 1\. В момент времени t\ ток меняет направление, поэтому меняет знак градиент концентрации дырок при л- = 0 (кривая 2). Граничная концентрация дырок рп\ уменьшается. До тех пор, пока концентрация РП\>РПО, напряжение U на ОПЗ больше нуля, т.е. имеет знак, соответствующий положительному смещению р-п перехода. Сопротивление р-п перехода при этом мало (кривая 3). В некоторый момент времени *2 (кривая 4 на 1.28,6) напряжение (7=0. С этого момента времени сопротивление р-п перехода резко возрастает, а ток через диод начинает уменьшаться ( 1.27, в и кривые 5, 6 на 1.28,6). Таким образом, весь переходный процесс выключения диода делится на два этапа: этап рассасывания, в течение которого рп\>рпо, U>Q, ток диода ограничен внешней цепью и остается постоянным, и этап восстановления обратного сопротивления, в течение которого обратный ток диода спадает практически до нуля (точнее, до установившегося значения обратного тока).

Практически линейное уменьшение послеинжекционного напряжения при ^>/i от значения ?/з до нуля определяется процессами рекомбинации дырок в базе и разрядом барьерной емкости р-п перехода. Учитывая, что избыточная граничная концентрация дырок в базе за счет рекомбинации уменьшается как &pni(t) ~&Рш ехр ( — t/rp), можно найти, что послеинжекционное напряжение меняется по закону

ме для активных областей базы и коллектора (на 4.4, а эти области, расположенные под эмиттером, ограничены вертикальными штрих-пунктирными линиями). Граничная концентрация /гБгр около коллекторного перехода много больше равновесной вследствие инжекции электронов из коллектора. На границе базы с эмиттерным переходом концентрация электронов мала из-за их экстракции в эмиттер. Вогнутость распределения пБ (х) (в отличие от распределения, показанного на 4.5) обусловлена тормозящим электрическим полем. В отсутствие поля, т. е. для бездрейфового транзистора, распределение будет почти линейным (штриховая линия).

Распределения неосновных неравновесных носителей в пассивной базе (вне области омического контакта к базе) и расположенной под ней области коллектора показаны на 4.7, б. Слева пассивная база ограничена поверхностью раздела кремний — диоксид кремния, граничная концентрация электронов определяется скоростью поверхностной рекомбинации.

2-1. МЕТОД ГРАНИЧНОЙ КОЛЛОКАЦИИ И ЕГО МОДИФИКАЦИИ

Граничные условия при этом удовлетворяются приближенно, путем соответствующего подбора коэффициентов Си. В последнее время в СССР и за рубежом получил распространение метод граничной коллокации [Л. 3 — 7]. Его сущность заключается в следующем. Решение краевой задачи ищется в виде ряда, точно удовлетворяющего дифференциальному уравнению задачи- Для нахождения неизвестных постоянных коэффициентов Си используются граничные условия, которые удовлетворяются не на всем контуре, а в особых, наперед заданных точках (точках коллокации). Таким образом, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимирующего ряда. Как будет показано ниже, выбор аппроксимирующей функции и закона распределения точек коллокации на контуре имеет весьма существенное значение.

Впервые метод граничной коллокации был применен для решения краевых задач в 1955 г. Л. М. Мительма-ном [Л. 3]*.

С 1961 г. метод граничной коллокации стал широко применяться одновременно в США (Конвэем и его последователями, под названием «метод Конвэя») и в СССР (Я. А. Баргом и А. Л. Лившицем [Л. 4, 5 и 6]). Однако необходимо отметить, что в работах Конвэя, Бидла, Ни-денфура, Лейса и др. не сделано ничего принципиально

нового по сравнению с тем, что ранее было предложено Мительманом: были использованы те же аппроксимирующие гармонические полиномы, а точки коллокации выбирались равномерно вдоль контура. Это не позволило авторам пойти дальше решения достаточно простых задач, легко решаемых и другими методами. Можно объяснить, почему Конвэю не удалось методом граничной коллокации получить решения сложных задач, если рассматривать этот метод как проблему теории интерполяции.

Для достижения сходимости интерполяционного процесса решающее значение имеет правильный выбор системы узлов интерполяции и вида интерполяционного полинома. Согласно теореме Фабера (Л. 8], нельзя указать единую систему узлов интерполяции, для которой интерполяционный процесс сходится для произвольной непрерывной функции. В то же время по теореме Фейера для заданной интерполирующей непрерывной функции можно подобрать систему узлов интерполяции, обеспечивающую сходимость процесса. Неправильный выбор системы узлов интерполяции может привести к расходящемуся процессу или к плохо обусловленной системе уравнений. При распространении этих положений теории интерполяции на методику выбора аппроксимирующей функции и систему точек граничной коллокации становится ясным, почему авторам, применявшим для выбора точек систему равноотстоящих узлов, не удавалось получить решение сложных, важных для практики задач. Проведенные исследования показали, что именно система равноотстоящих узлов дает наихудший результат, часто приводит к расходящемуся процессу. В то же время наличие точек коллокации в нулях полинома Чебышева первого или второго рода обычно обеспечивает возможность решения задач. Нули полинома Чебышева располагаются в следующих точках:

Поэтому для каждого типа задач необходимо исследовать различные системы аппроксимирующих функций. Таким образом, очевидно, что, несмотря на кажущуюся простоту метода граничной коллокации, решение задач с его помощью может приводить к неожиданным затруднениям. Очевидно, этим и объясняется ограниченное до сих пор применение метода для решения краевых задач.

Однако наряду с многочисленными преимуществами метод граничной коллокации имеет существенный недостаток — при решении сложных задач, сводящихся к системам линейных алгебраических уравнений высокого порядка, точность и быстродействие обычно применяемых в инженерных расчетах ЭВМ «Урал» и «Минск» иногда недостаточны. Этот недостаток в значительной степени может быть устранен применением интегрального метода. Сущность его заключается в следующем. Поверхность тела (в случае трехмерной задачи) делится на п областей Qft, затем в каждой из областей выполняется интегральное условие типа

Выполнение условий (2-3) или (2-4) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимирующего ряда. В дальнейшем решение выполняется так же, как и в методе граничной коллокации. При равном числе уравнений этот метод дает более точный результат, чем метод граничной кол-локации, так как на каждом участке в силу (2-3) или (2-4) хотя бы в одной точке граничное условие выполняется точно. Нередко интегральный метод позволяет получить более точный результат при меньшем числе уравнений, хотя составление их более сложно, чем в методе граничной коллокации. При использовании интегрального метода отклонение от граничных условий на каждом участке границы более равномерно, чем при использовании метода граничной коллокации. Чем сложнее рассчитываемая область, тем большую систему уравнений необходимо составить и решить. В таких задачах особенно проявляются преимущества интегрального метода. Наиболее эффективным является смешанный метод. При этом граничные условия удовлетворяются точно в заданных характерных точках (если часть границы тела описывается сложной функцией) и интегрально по участкам контуров. Такое сочетание дает возможность, сохранив преимущества метода граничной коллокации, избавиться в значительной степени от его недостатков. Отметим, что интегральный и смешанный методы успешно использовались в НИИТЭМ для решения задач по теории упругости [Л. 9, 10].

Однако, если уравнение границы области или ее участка y = f(x) громоздко, то применение интегрального метода затруднительно (особенно при решении задачи без помощи ЭВМ), так как взятие интегралов и составление уравнений становятся слишком трудоемкими. В этих случаях удобно пользоваться другим методом — методом переопределенной коллокации. Сущность его заключается в следующем. Пусть получена (методом граничной коллокации) система ^V линейных уравнений с 5 неизвестными:

Таким образом, задача определения напряженности электрического поля сводится к решению краевой задачи для уравнения Лапласа. Для его решения воспользуемся методом граничной коллокации. В качестве аппроксимирующих функций примем (с учетом симметрии задачи) :