Единичной ступенчатой

(см. задачу 12.12) с найденным z-преобразованием S(z) видно, что S(«) есть значения S(z), равномерно расположенные в N точках z = e'(~"/'V)" единичной окружности на плоскости z. Этот вывод справедлив для любых последовательностей с конечной длиной в N отсчетов.

Из сопоставления ,ДПФ S (и) сигнала, рассмотренного в задаче 12.12, с найденным S(z) следует, что значения S(z), равномерно расположенные в 2N точках z = е1'"^'" единичной окружности на плоскости z, соответствуют двум периодам ДПФ S (и).

Вычисляя сумму (10.38) при z — eK2jt/JV>ft, т. е. в точке на единичной окружности с полярным углом 2nk/N, находим

Итак, коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования этой последовательности в N точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Кроме того, существенно, что коэффициенты ДПФ последоврпель-ности конечной длины однозначно представляют саму последовательность, которую можно получить, пользуясь формулой (10.33) О ДПФ.

Вычисляя значения JT-(z) на единичной окружности 2=eJ<4 получим

Для точек на единичной окружности равенство (10.41) принимает вид

Здесь а = е'в — точка на единичной окружности 7; w(f ) — функция, конформно отображающая круг If < 1 на заданную область.

Все корни уравнения расположены на единичной окружности в квадратной симметрии. На 6.4 показано расположение полюсов для я = 4.

Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы все полюсы передаточной функции H(Z) находились внутри единичной окружности с центром в начале координат. Таким образом, условие (3.5.28) обеспечивает и устойчивость модели.

где F(z]- полином степениL, имеющий корни р1г р2,..., pL, a F*(z~1)- полином степени L, имеющий корни 1/р*, 1/р*.,..., 1/р^. Подходящий обеляющий фильтр имеет г-преоб-разование 1/ F*(z~l). Поскольку имеется 2L возможных способов выбора корней F*(z~l), а каждый выбор ведет к фильтру, который одинаков по амплитудной характеристике и различен по фазе по сравнению с другими выборами, то мы предлагаем выбрать уникальное F*(z~l), имеющее минимальную фазу, т.е. полином, имеющий все свои корни внутри единичного круга. Тогда все корни F*(z~l) лежат внутри единичной окружности (с центром в начале координат), а IIF*(z'1}- физически реализуемый, устойчивый фильтр с дискретным временем. Следовательно, пропуская последовательность {yk} через цифровой фильтр l/F*(z~l) получаем выходную последовательность {ut}, которую можно представить так

(р,, р2, ...pL, 1/р*, 1/р2,... I/Pi), то следует, что C'(z) должен сходиться в плоскости, внутри единичной окружности (z = ej*). Следовательно, контуром интегрирования может быть единичная окружность.

Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция—интегралом от единичной импульсной функции. Следовательно, вводится понятие производной от функции в точке ее разрыва.

Спектральная плотность единичной ступенчатой функции получает вид

Интегрирование единичной ступенчатой функции дает линейно нарастающую функцию, изображение которой получится путем

Изображения этих функций, представляющих модулированные колебания с огибающей в виде единичной ступенчатой функции,

Косинусоидальная и синусоидальная функции с единичной ступенчатой огибающей. Применяя теорему смещения в частотной области в форме первого выражения (10.91) к преобразованию огибающей (10.52), получаем вещественный или мнимый спектр функции 6j (/) cos con/:

Единичная ступенчатая функция. Единичной ступенчатой функцией, или единичной ступенью, называется функция, определяема^ следующим образом:

График единичной ступенчатой функции дан на 9.1. С электротехнической точки зрения действие единичного ступенчатого напряжения равносильно внезапному включению цепи в момент / = 0 под постоянное напряжение, равное единице.

9.7 *. С двухполюсной цепью без запаса энергии были проведены два опыта: 1) на цепь действовало напряжение в виде единичной ступенчатой функции, которое вызвало ток /(/) = A\e~2t- cos (2/ + + Ф1); 2) на цепь действовал ток той же формы, который вызвал напряжение «(/) = А-^е"' cos (3^ + г)2) + А3е~ . Найти входное со-

т. е. определена операция дифференцирования единичной ступенчатой функции. Рассмотрим подробней, чему же равна производная \'(t). Для этого найдем производную от функции fa(t):

Данное равенство вместе с выражением (10.3) является определением б-функции '. Таким образом, производная от единичной ступенчатой функции есть б-функция:

11.34. Найти спектральную плотность единичной ступенчатой функции.