Единичная ступенчатая

г) МО —• единичная ступенчатая функция, 8„(0 — единичная импульсная функция;

Единичная импульсная функция. Для введения более сложной единичной импульсной функции, которую будем обозначать через o(t), рассмотрим предварительно две функции: 1) функцию fi(t), линейно нарастающую от нуля при t = — ti/2 до единицы при t = -c1/2 и принимающую постоянное значение, равное единице, при ?>Ti/2 ( 6.2, а); 2) первую производную /2(0 этой функции, представляющую прямоугольный импульс длительностью T! и амплитудой I/TJ ( 6.2, б). Площадь, ограниченная /2 (t), очевидно, равна единице независимо от значения TJ.

Единичная импульсная функция равна нулю при всех значениях аргумента, отличных от нуля, но при нулевом значении аргумента она обращается в бесконечность. При этом площадь, ограниченная ею,

Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция—интегралом от единичной импульсной функции. Следовательно, вводится понятие производной от функции в точке ее разрыва.

Единичная импульсная функция. Для импульсной функции с учетом ее свойства выборки (фильтрации) из интеграла прямого преобразования Лапласа (10.41) имеем

Единичная импульсная функция. Функция §(;) задается аналитически условиями !

2. Единичная импульсная функция, изображение которой можно найти в форме изображения двух единичных функций величины Ц?) и сдвинутых друг относительно друга на т ( 7.19). Для этих функций с учетом теоремы смещения имеем

т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (7.94) сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи:

6(0 = lim —гг- Если единичная импульсная функция имеет

Единичная импульсная функция является производной единичной скачкообразной функции 6(0 =—Ц/"' ^Ри опРеДелеиии ее операторного изображения необходимо учесть, что она не равна нулю только в точке / = 0, т. е. в интервале от t = — 0 до t — + 0. Соответственно, чтобы учесть толчок на систему со стороны импульсной функции при определении ее изображения, необходимо взять нижний предел интеграла Лапласа t — — 0, т. е.

Таким образом, характер (метод) усреднения вычисляемого параметра движения цели зависит от функции Р(т), которая называется функцией веса. Формула (2.91) позволяет истолковать физический смысл функции веса. Действительно, функция p(t) является реакцией динамического устройства с функцией jaeca P(t) на сигнал, подаваемый на его вход — p(t). Если p(t)=d(t), где b(t) — единичная импульсная функция (функция Дирака или дельта-функция), то

г) МО —• единичная ступенчатая функция, 8„(0 — единичная импульсная функция;

Единичная ступенчатая функция. Напряжение в вице ступенчатой функции получается, например, при подключении цепи к идеальному источнику постоянного напряжения ( 6.1, а) с помощью идеального ключа, сопротивление которого в момент ^ = 0 мгновенно обращается в нуль, когда напряжение на зажимах цепи от нулевого значения скачком принимает постоянное значение U. Ступенчатая функция, следовательно, претерпевает конечный разрыв при ? = 0. Единичную ступенчатую функцию, имеющую амплитуду, равную единице ( 6.1, б), будем обозначать через б] (t).

Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция—интегралом от единичной импульсной функции. Следовательно, вводится понятие производной от функции в точке ее разрыва.

Единичная ступенчатая функция. Изображение единичной функции можно получить, положив в (10.48) ос = 0:

Если на входе системы действует единичная ступенчатая функция, то из ее амплитудного спектра ( 11.11, а) пройдет к выходу без изменения только низкочастотная часть, показанная штриховкой. Получившемуся спектру соответствует напряжение на выходе, представляющее переходную характеристику

где 6j (t) — единичная ступенчатая функция.

Единичная ступенчатая функция. Единичной ступенчатой функцией, или единичной ступенью, называется функция, определяема^ следующим образом:

7. Единичная ступенчатая функция. Единичная импульсная функция. Единичная ступенчатая функция, или единичная функция (единичный скачок или функция Хевисайда), равна нулю при t< 0 и равна единице при ?>0. Ее обозначение, 1(^). Математическая запись единичной функции

как было предложено Шенфельдом i[6] и рассматривалось сравнительно недавно ван-дер-Зилом [8]. В выражении (1.6) u(t)—единичная ступенчатая функция, равная единице для />0 и нулю, когда t<0. Преобразование Фурье для f(t) су-

где а и со* — оба положительны и не зависят от времени; a — 'приближенно, но не точно равно единице, а u(t]—единичная ступенчатая функция. Фурье-преобразование функции f(t) описывается формулой

— единичная ступенчатая 15, 160

где S+(f) - преобразование Фурье FJX/1)] от s(t), a w(/)-единичная .ступенчатая функция. Эквивалентное представление (4.1.1) во временной области