Доверительную вероятность

Рглоп — АРП; Р2доп--ДРп • — нижнее и верхнее значения доверительного интервала;

Технологические процессы с системами межоперациониого контроля, удовлетворяющие цели (15.28) и ограничениям (15.31), будем считать стабильными относительно уровня (ДРп/Р2доп) • 100 % с надежностью не ниже З'доп, где ДРп/Рздоп — 100 % -процентное отношение доверительного интервала к вероятности выхода годных изделий.

Так как среднее арифметическое значение случайных величин, распределенных нормально, также подчиняется нормальному закону распределения, то для нахождения симметричного доверительного интервала Д можно воспользоваться (7.11):

При определении доверительных интервалов для других уравнений из исходного набора необходимо заменить значение /,- на l/ti или на In ti в зависимости от того, как время t входит в исходное уравнение регрессии. При нахождении доверительного интервала задаются некоторым уровнем значимости а (обычно а = 0,01 — 0,05). Тогда с вероятностью (1 — а) в доверительный интервал попадут прогнозируемые значения параметров электропотребления. Для тех прогнозных значений, которые по-

где г/в — верхняя граница доверительного интервала; У (to) — прогнозное значение.

При нормальном законе распределения по таблице интеграла вероятностей можно определить значения доверительных интервалов. При увеличении доверительных интервалов значения доверительных вероятностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. Например, для доверительного интервала от 8i = — о до бг=+о доверительная вероятность Р равна 0,68. Следовательно, вероятность того, что случайная погрешность не превышает среднего квадратического значения, равна 0,68. Так как вероятность появления случайной погрешности для доверительного интервала от 6i= — оо до 6s = + оо равна единице, то вероятность появления погрешности по абсолютному значению, превышающей 0, равна 1 — 0,68=0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь погрешность, большую а.

Для доверительного интервала от — 30 до +3а доверительная вероятность равна 0,9973. Вероятность появления погрешности, большей За, равна 1 — 0,9973 = = 0,0027 » 1/370. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 о. Поэтому значение 3 о считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности, большие 3 а, считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

Следует отметить, что указанный способ определения доверительных интервалов справедлив только при большом количестве измерений (п>204-30). На практике чаще всего значение ел приходится определять по результатам сравнительно небольшого количества измерений. В этом случае при нормальном законе распределения для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стыодента tn, которые зависят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измерений п (табл. 1.3).

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность аА надо умножить на коэффициент Стьюдента. Окончательный результат измерения можно записать так:

характеристик погрешности результатов измерения обычно используются доверительная вероятность и доверительный интервал: — рд (dj) и [ — kd\, +kd&], где —-Ыл — нижняя, а "ЬЦ\ — верхняя границы доверительного интервала

Распределение вероятности оценок прнведешюго вида при N > 30 можно описывать нормальным законом. При N < ЗП определение доверительного интервала оценка при установленных од (dj) и N в общем случае усложняется. Однако для гауссов-ского распределения Ах/ при малых N для оценок справедливо распределение Стьюдентз, что позволяет корректно решать задачу определения р„ (Ал?) к при ограниченных объемах выборки.

Доверительную вероятность Р„ найдем, воспользовавшись формулой (7.6):

7.31. В задаче 7.29 найдите приближенно: доверительную вероятность того, что истинное значение измеряемого напряжения ?/и отличается от 1/сГ не более чем на 30 мВ; симметричный доверительный интервал Д1'ь соответствующий доверительной вероятности 0,95,

7.32. В задаче 7.29, предполагая, что погрешности наблюдений распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, найдите: доверительную вероятность того, что истинное значение измеряемого напряжения U» отличается от t/cp не более чем на 30 мВ; симметричный доверительный интервал Д(/, соответствующий доверительной вероятности 0,95.

Определим доверительную вероятность рч (А*) при N ----- 50 и k = ОД.

Определим доверительную вероятность p.. (pj) пэи Л^ = 50 и k --= 0,1.

Доверительный интервал и доверительная вероятность. Если известен закон распределения погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности 6, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью. В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением а часто пользуются доверительным интервалом от + За до —За, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше За. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем За, будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению За (правило «трех сигм»).

Зная доверительную вероятность и доверительный интервал для каждой составляющей погрешности, можно найти среднее квадра-

Рассмотрим теперь, какую же доверительную вероятность следует брать? Как правило, принимают Р =10,95. Если измерения нельзя повторить, то Р = 0,99, а в особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием новых эталонов или имеют значение для здоровья людей, и выше.

6. Определите доверительную вероятность интервала ±а при равномерном и U-образном (арксинус) распределении.

Примем доверительную вероятность Р = 0,99. По табл. 1 коэффициент t (п) = 3,25. Результат измерения может быть записан так: г =62,33 ±

верительной границы Случайной погрешности результата измерения. На практике чаще всего задают доверительную вероятность Рд =0,95 и реже Рд = 0,9. Значение Рд = 0,99 принимается при оценке погрешностей, связанных с весьма точными измерениями.