Доверительная вероятность

ная величина Д при данном измерении. Для оценки влияния погрешности на результат измерения задаются положительными AI и А2 и находят вероятность того, что измеряемая величина л;,, заключена между (х—А2) и (я-f: H-AJ). Интервал [х—А2; JC+AJ называется доверительным интервалом, а вероятность того, что ха находится внутри этого интервала, — доверительной вероятностью РЯ- Можно показать, что

Точность и достоверность оценки фактической интенсив ности отказов К (t) ИМС характеризуются соответственно доверительным интервалом и доверительной вероятностью. Нижнюю Я„ и верхнюю Яв доверительные границы Яоп для экспоненциального закона распределения отказов определяют из выражений

Задача сводится к оценке пределов ех и е^, в которых с заданной вероятностью Р лежат значения погрешности Д. Интервал (elf BJ) называется доверительным интервалом, а Р — доверительной вероятностью. Доверительный интервал — интервал (< е2), который с доверительной вероятностью

Задача сводится к оценке пределов ъг и %, в которых с заданной вероятностью Р лежат значения погрешности А. Интервал (еь еа) называется доверительным интервалом, а Р — доверительной вероятностью. Доверительный интервал — интервал (еь е2), который с доверительной вероятностью

Понятие о контрольно-поверочных измерениях. Отнесем к этому виду все измерения, в которых случайная составляющая погрешности имеет существенное значение и ее нужно оценить и уменьшить. Точность таких измерений задается доверительным интервалом и доверительной вероятностью. Контрольно-поверочные измерения выполняются с помощью многократных наблюдений. Систематическая составляющая погрешности, по возможности, устраняется предварительно.

Доверительный интервал и доверительная вероятность. Если известен закон распределения погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности 6, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью. В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением а часто пользуются доверительным интервалом от + За до —За, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше За. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем За, будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению За (правило «трех сигм»).

вероятность — доверительной вероятностью. Доверительный интервал выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3а до —За, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютной величине будет больше За. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем За, будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения практически не превышают по абсолютной величине За (правило «трех сигм»).

На практике (особенно при малом значении п) необходимо оценить точность и надежность полученных результатов для среднего значения и среднего квадратического отклонения. Для этой цели пользуются доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность — доверительной вероятностью. 20

Доверительным интервалом /д называют интер-

Интервальной оценкой, или доверительным интервалом уровня у , называют случайный интервал с заданной доверительной вероятностью у , накрывающий истинное значение оцениваемого параметра.

;на х„ = А находится в заранее заданном интервале (А-АГ, А +АГ). Данный интервал, по величине равный 2АГ, называется в метрологии доверительным интервалом, ±АГ — доверительными границами случайной погрешности результата измерения, А„=А-АГ и ЛВ=Л+ДГ — нижней и .верхней границами доверительного интервала, а вероятность Рд — доверительной вероятностью. Аналитически доверительная вероятность записывается в следующем виде:

где & — доверительная вероятность; АР — доверительный интервал; PI — вероятности выхода годных, полученная в ТП с СМК; Р2доп — допустимая вероятность выхода годных. Возможны также и другие ограничения, обусловленные физическими условиями существования величин, типом и требованиями производства и т. п.

стаая модельТабоче"- (Р™. 15.2). Здесь входными данными явля-го места ются: &'<_i — доверительная вероятность то-

^"доп — минимальная доверительная вероятность того, что величина Р2Доп лежит в интервале (РгЛоп-\-АРп', Р2Доп — А-Рп);

Сравнивая результаты, полученные в задачах 7,1 и 7.2, нетрудно заметить, что для нормального закона распределения погрешностей при одинаковом доверительном интервале доверительная вероятность больше в том случае, когда Д[/с равна нулю или внесена соответствующая поправка в результат измерения.

Сравнивая выводы задач 7.31 и 7.32, можно отметить, что использование приближенной формулы (7.24) применительно к нормальному закону распределения погрешностей приводит к завышению точности результата измерения по сравнению с действительной точностью (при заданной доверительной вероятности получается меньший доверительный интервал, и наоборот, при заданном доверительном интервале получается большая доверительная вероятность).

Доверительная вероятность v Доверительная вероятность v

При нормальном законе распределения по таблице интеграла вероятностей можно определить значения доверительных интервалов. При увеличении доверительных интервалов значения доверительных вероятностей возрастают, стремясь к пределу, равному единице. Например, для доверительного интервала от 8i = — о до бг=+о доверительная вероятность Р равна 0,68. Следовательно, вероятность того, что случайная погрешность не превышает среднего квадратического значения, равна 0,68. Так как вероятность появления случайной погрешности для доверительного интервала от 6i= — оо до 6s = + оо равна единице, то вероятность появления погрешности по абсолютному значению, превышающей 0, равна 1 — 0,68=0,32, т. е. примерно только одно из трех измерений будет иметь погрешность, большую а.

Для доверительного интервала от — 30 до +3а доверительная вероятность равна 0,9973. Вероятность появления погрешности, большей За, равна 1 — 0,9973 = = 0,0027 » 1/370. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 о. Поэтому значение 3 о считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности, большие 3 а, считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

Вероятной погрешностью называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях какой-либо величины одна половина случайных погрешностей по абсолютному значению меньше вероятной погрешности, а другая — больше ее. Из данного определения следует, что вероятная погрешность равна доверительному интервалу, при котором доверительная вероятность Р—0,5.

Наиболее употребляемыми характеристиками погрешностей являются: математическое ожидание (систематическая погрешность), корень квадратный из дисперсии (средняя квадратическая погрешность), доверительный интервал и доверительная вероятность.

характеристик погрешности результатов измерения обычно используются доверительная вероятность и доверительный интервал: — рд (dj) и [ — kd\, +kd&], где —-Ыл — нижняя, а "ЬЦ\ — верхняя границы доверительного интервала