Дифференциальном уравнении

Вычитая (4.14) из (4.13), получим дифференциальное уравнение для свободного тока

Выразив е через -- L dijdt, получим дифференциальное уравнение

Выразив в (4.26) напряжение и через амплитудное значение и ЭДС е — через индуктивность и скорость изменения тока, получим дифференциальное уравнение

где и с ус, — напряжение на емкости после окончания переходного процесса; иСсв — свободная составляющая напряжения, которая после окончания переходного процесса обращается в нуль. Дифференциальное уравнение (4.41) без правой части

Взяв производную от левой и правой частей уравнения, получим дифференциальное уравнение второго порядка без правой части

система состоит из тела 2 с массой т, пружины 1 и воздушного демпфера 3, состоящего из поршня, расположенного в цилиндре. Допустим, тело 2 удерживалось в неподвижном состоянии внешней силой, когда пружина / была ненапряженной. После удаления внешней силы под действием силы тяжести система придет в движение. Тело начнет опускаться, пружина — растягиваться, появится демпфирующая сила демпфера. Возникнет переходный процесс, который постепенно затухнет и система снова окажется в неподвижном состоянии. Электрической моделью рассмотренной механической системы является электрическая цепь с резистивным, индуктивным и емкостным элементами, изображенная на 4.10, б, так как дифференциальное уравнение переходного процесса этой цепи при подключении ее к источнику с постоянным напряжением аналогично дифференциальному уравнению переходного процесса механической системы.

1. Прежде всего необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока z или напряжения и. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

Исключая из системы уравнений (5.3) переменные uf и UL , получаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа :

Так как дифференциальное уравнение (5.12) однородное [совпадает с уравнением .(5.5)], то его общее решение содержит только свободную составляющую (5 .7) :

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа:

Выразив в дифференциальном уравнении (4.5) ток через две составляющие, получим

14.9. Задан аналоговый фильтр нижних частот в виде простой ЛС-цепи со съемом напряжения с конденсатора. Передаточная функция цепи Кя(р)=\/(\+т:р), постоянная времени т = 4 мс. Основываясь на дифференциальном уравнении цепи, определить структуру дискретного фильтра при шаге дискретизации Т— 1 мс. Оценить отклонение АЧХ К, .(ю) от А"а(ю) на час готе /=500 Гц и расхождение импульсных характеристик gr(kT) и #.,(/) к моменту времени t = i.

Из сравнения (7.14) и (7.17) следует, что уравнение для комплексных амплитуд можно получить, если в дифференциальном уравнении произвести замену мгновенных значений переменных их комплексными амплитудами, а символов производных dkldtk — величинами (/со)*. Подставлять экспоненту ej(at в уравнение нет необходимости: она все равно сокращается.

Решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования А. Ее значение невозможно определить из уравнения (11-13), правая часть которого равна нулю. Действительно, это уравнение остается справедливым при умножении найденного решения и"с на любую постоянную величину. Таким образом, основываясь только на дифференциальном уравнении, нельзя найти решение, которое однозначно описывало бы исследуемой процесс.

Пусть последовательно соединенные элементы L,r, С ( 11-5) включаются в цепь источника с напряжением u(t). В дифференциальном уравнении цепи (11-1) целесообразно в качестве неизвестного выбрать напряжение на емкости ис, выражая через него ток

Причина этого нарушения содержится в предположении о быстром (Ai->0) разрыве контакта. Действительно, при этом в дифференциальном уравнении, применимом к процессу коммутации,

В дифференциальном уравнении (3.83) можно разделить переменные, а потом провести интегрирование, согласовав пределы интегрирования:

Если 6 дифференциальном уравнении нелинейные члены будут встречаться в какой-либо иной комбинации, например в качестве множителя при первой производной, то из этого нелинейного множителя следует выделить линейную составляющую, оставив ее в левой части уравнения, а нелинейную перенести вправо и рассматривать ее как внутреннюю вынуждающую силу.

Уравнение (13.18) получено путем выделения в дифференциальном уравнении системы слагаемых с sin со/, уравнение (13.19) — с cos со/, уравнения (13.20) и (13.21) — с sinco^ и coscoj/. Л, В, С, Q (для сокращения скобки при них опускаем) являются функциями медленно меняющихся амплитуд a, b, c, g, частот со и Wj и всех параметров схемы. Из уравнений

Пусть в нелинейном дифференциальном уравнении, описывающем переходный процесс в цепи, член, содержащий коэффициент, зависящий от интенсивности процесса, имеет второстепенное значение по сравнению с другими членами уравнения, содержащими постоянные коэффициенты, Это значит, что максимальное значение этого члена в переходном процессе значительно меньше максимальных значений, достигаемых другими членами. В таком случае коэффициент при этом нелинейном члене приближенно может быть принят постоянным, равным некоторому среднему своему значению. Уравнение при этом становится линейным и может быть просто решено относительно искомой величины. Таким образом, этот метод основан на условной линеаризации уравнения цепи.

Выразив в дифференциальном уравнении (7.5) ток через две составляющие, получим