Дифференциальным уравнениям

Дифференциальным сопротивлением гд нелинейного элемента называют величину, равную отношению малого приращения напряжения на н.э. к малому приращению тока в нем. Дифференциальное сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона р касательной в данной точке а характеристики к оси токов:

Дифференциальным сопротивлением 1 называется величина гд = dU/dl, характеризующая н. э. при малых отклонениях от рассматриваемой точки нелинейной характеристики. Дифференциальное сопротивление определяет крутизну характеристики в каждой точке.

Найти ток в функции от времени и его действующее значение. Нелинейное сопротивление заменяется источником постоянной э. д. с. Е (направленной навстречу току) и линейным дифференциальным сопротивлением гя = mr tgp. На основании схемы замеще-

называется внутренним или дифференциальным сопротивлением триода (Ri «300 ом -=- 100 ком). Он характеризует сопротивление участка анод — катод переменному току.

Различают два основных типа характеристик н. э., обладающих отрицательным дифференциальным сопротивлением: характеристики типа N ( 5-25, а) и 5 ( 5-25, б). Наименование типа соответствует начертанию характеристики в осях i, и.

которую называют дифференциальным сопротивлением элемента в выбранной рабочей точке.

Для анализа работы ОУ часто пользуются схемой замещения, изображенной на 4.4. Входная ча'сть схемы замещения определяется входным дифференциальным сопротивлением /?вх.д, а выходная часть содержит источник ЭДС Ku(f)uBK и рези-стивный элемент с сопротивлением Квых.

Тиристором называют полупроводниковый прибор с тремя (или более) р-п-пе-реходами, вольт-амперная характеристика которого имеет участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением и который используется для переключения.

3. Выходное сопротивление схемы ОИ определяется резистором RC и дифференциальным сопротивлением канала гс:

2. Нелинейность вольт-амперной характеристики определяется дифференциальным сопротивлением, которое представляет собой сопротивление в данной точке характеристики для синусоидального переменного тока с малой амплитудой:

Тепловой пробой имеет место в тех случаях, когда не обеспечивается необходимый отвод тепла от р — «-перехода. В результате переход может перегреться и выйти из строя. Этот вид пробоя является наиболее опасным, так как он необратим, т. е. выпрямительные свойства перехода не восстанавливаются. Тепловой пробой наступает при более низких обратных напряжениях, чем электрические виды пробоя. Обратная ветвь вольт-амперной характеристики при тепловом пробое имеет участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением и располагается правее обратных характерис-54

* См.: Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., «Наука», 1971, с. 375.

Механическая и электрическая системы подчиняются одним и тем же фундаментальным законам физики, формулировка этих законов на математическом языке приводит к характерным дифференциальным уравнениям, подобным по форме для обеих систем. Так, например, закон сохранения энергии для механической системы выразится уравнением равновесия Даламбера:

Решение уравнения (249) чрезвычайно сложно; достаточно указать, что уравнения в частных производных не поддаются решению на обычных АВМ. Для решения задачи структурными методами целесообразно заменить исходную систему с распределенными параметрами эквивалентной «цепной» системой, состоящей из цепочки сосредоточенных масс и невесомых пружин с ограниченным числом звеньев (талевый канат и талевый блок могут быть представлены в виде одного звена цепной системы). Такая замена позволяет перейти от уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Принятая для дальнейшего анализа расчетная схема механической части электромеханической системы показана на 91, б (все величины приведены к вращательному движению на валу двигателя, направления величин показаны для режима подъема) и описывается системой уравнений, вытекающих из уравнений движения и упругой деформации

Замена нелинейной характеристики ломаной прямой приводит к нескольким линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Получаемые решения припасовываются одно к другому надлежащим выбором постоянных интегрирования. Этот метод применялся выше для расчета периодических (установившихся) процессов в линейных цепях (см. § 3-4).

Динамическими переменными, необходимыми для описания состояний элементарных четырехполюсников, служат обычные токи и напряжения. Устремляя к нулю длины элементарных отрезков, можно свести задачу к некоторым дифференциальным уравнениям, решения которых соответствуют волновому процессу, наблюдаемому в линии.

Сначала для случая плоскопараллельного, т. е. двухмерного поля, излагается предложенный Фурье метод разделения переменных для перехода от уравнения в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям и указывается на возможность распространения метода Фурье на трехмерное поле и на любую систему координат. В качестве примера рассматривается проводящий цилиндр в другой проводящей среде и в однородном электрическом поле; обобщается решение на аналогичные задачи электростатического и магнитного полей. Развитием этого примера может служить цилиндрический магнитный экран в однородном внешнем поле.

Функционал (1.30) обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как дифференциальным уравнениям (1.29), так и граничным условиям. При нелинейных зависимостях процесс минимизации сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для этого чаще всего используется метод Ньютона — Рафсона, обеспечивающий хорошую сходимость.

В книге главное внимание уделяется дифференциальным уравнениям, из которых получаются как частный случай уравнения установившегося режима. Даются определения активной, реактивной и обменной мощности и энергетическим показателям в динамике.

Функционал (1.39) обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как дифференциальным уравнениям (1.37), так и граничным условиям. При нелинейных зависимостях процесс минимизации сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для этого чаще всего используется метод Ньютона— Рафсона, обеспечивающий хорошую сходимость.

Из приведенного вывода уравнений (1.30) и (1.33) видно, что только наличие элементов, запасающих энергию, — индуктивностей и емкостей — приводит к дифференциальным уравнениям. В частном случае цепей, составленных из резистивных элементов, получим системы линейных алгебраических уравнений.

Аналоговый вычислительный комплекс АВК-2 предназначен для моделирования динамических систем, решения обыкновенных линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и других задач, которые могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Комплекс выполнен на полупроводниковых УПТ и имеет разнообразный состав линейных и нелинейных операционных блоков.