Численном интегрировании

Уравнения (2-7) и (2-8) на практике решают следующими приближенными методами: а) численного интегрирования; б) графо-аналити-ческим методом Б. С. Сотскова; в) двойного графического интегрирования; г) изоклин; д) с помощью коэффициентов рассеяния; е) аналитическим методом А. В. Гордона.

Ниже приводятся основные указания по расчету цепи ( 2-10) методом численного интегрирования. Этот метод сравнительно прост и может быть применен при изменяющемся в зависимости от х параметре gMf. Изложение других методов громоздко и с ними в случае необходимости можно ознакомиться по специальной литературе.

Расчет методом численного интегрирования начинается с разбивки цепи вдоль длины I на п участков, каждый длиной А.Х/,, причем длины участков могут быть неодинаковыми. Индекс k соответствует концу участка (k — 1,2, 3 и т. д.). Предполагается, что поток Фх = Ф/( на длине участка остается неизменным, а на границе двух участков меняется скачком и Ф{,+: — Фд, — ЛФ?, где приращение потока

2-21. Почему первоначальный ток при расчете магнитной цепи ( 2-10), определенный способом, показанным в примере 2-1, будет заведомо меньше тока, полученного в итоге расчета методом численного интегрирования.

Дифференциальное уравнение приближенно заменяется алгебраическим, содержащим конечные приращения исследуемой величины за малые интервалы времени. Этот простой, но трудоемкий метод численного интегрирования облегчается применением счетно-решающих машин.

где ф = arctg — , величина в прямоугольных скобках приравнена среднему значению 1/2. Полученная система так называемых «укороченных» уравнений Ван дер Поля может быть решена методами численного интегрирования. Огибающая колебаний находится по формуле

Ранее, изучая нестационарные явления в линейных цепях, мы использовали подход, основанный на том, что математической моделью цепи является дифферециальное уравнение n-го порядка. При компьютерном изучении таких процессов желательно несколько видоизменить методику, сводя задачу к решению системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, так как разработано множество программ для численного интегрирования подобных систем; программы различаются как сложностью алгоритмов, так и достижимой точностью результатов.

Исследование процессов в ЭДН возможно в фазных координатах при относительном перемещении МДС обмоток со скоростью движения ротора или в d, q, 0-координатах с использованием линейного преобразования Парка — Горева (см. гл. 3). Дифференциальные уравнения, описывающие процессы, в первом случае имеют переменные коэффициенты, во втором — постоянные, однако аналитическое решение таких уравнений возможно лишь для частных случаев, не учитывающих нелинейности различного свойства: переменную частоту вращения ротора, насыщение стали. Развитие вычислительной техники и наличие стандартных программ интегрирования систем дифференциальных уравнений позволяют исследовать переходные процессы в фазных координатах, при которых требуется рассчитывать индуктивности и взаимные индуктивности обмоток на каждом шаге численного интегрирования. Такой подход упрощает процесс поиска рациональных форм активной зоны ЭДН для различных типов нагрузок с учетом всевозможных нелинейностей таких, как насыщение стали, переменная скорость движения ротора, изменяемое сопротивление проводов вследствие нагрева и вытеснения токов и т. п.

Расчет магнитных проводимостей приходится повторять на каждом шаге численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, поэтому использование таких «полевых» методов, как метод конечных элементов или метод конечных разностей возможно лишь при наличии быстродействующих ЭВМ [6.19]. Расчет усложняется при наличии электропроводных экранов, представляющих собой замкнутые контуры с распределенными параметрами. В настоящее время наиболее приемлемым является универсальный метод расчета электромагнитных процессов в электрических машинах, разработанный А. И. Ивановым-Смоленским и получивший название метода проводимостей зубцовых контуров (МПЗК) [6.16].

При последующих обращениях к подпрограмме вычисления L1; L2, М (ср>0) расчет проводят по правой ветви схемы расчета. На каждом шаге численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей переходный процесс в ЭДН, наряду с прочими показателями определяют потокосцепления обмоток Ч*,, *Р2 и геометрический угол между магнитными осями обмотой статора и ротора ср.

При соизмеримых значениях Wl0 и I.W связь между временем и углом определяется уравнением dq>jdt =fl(()- Учесть нелинейность, связанную с Q(f), при расчете ЭДН можно либо решением системы дифференциальных уравнений (6.1), либо введением отдельной процедуры вычисления Ф =/(0, '), обеспечивающей расчет ф итерационно на каждом шаге численного интегрирования дифференциальных уравнений типа (6.2). Второй вариант в сочетании с итерационным процессом вычисления индуктивностей ЭДН более приемлем.

Возникающие при численном интегрировании (2.24) и (2.2?) особенности для I'MQ—>0 устраняются известными методами.

§ 1.9. О ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ

Алгоритм Рунге — Кутта. При численном интегрировании уравнения наибольшее применение находит более точный метод Рунге — Кутта четвертого порядка, который выражается формулой

§ 1.9. О численном интегрировании ....,.,...,,...., 26

Рассмотренные в предыдущей главе методы получения решений уравнений состояния требуют предварительного их аналитического решения. Для некоторых классов уравнений состояния (например, нелинейных и нестационарных) подобный подход связан с существенными трудностями, особенно если воздействующие функции имеют сложный характер. Поэтому возможно и непосредственное численное интегрирование уравнений состояния. В этом случае исследователь уже не располагает аналитическим решением уравнений, позволяющим проводить качественный анализ его свойств. Следовательно, особенно остро встает проблема адекватности получаемых при численном интегрировании результатов истинному решению уравнений состояния. В данной главе анализируются методы численного интегрирования уравнений состояния и исследуются такие особенности последних, которые характерны для уравнений электрических цепей и определяют адекватность получаемых при использовании конкретного метода результатов истинному решению.

Важной проблемой при численном интегрировании уравнений состояния является выбор шага дискретизации. Выбор большого шага нарушает адекватность разностных уравнений решаемым дифференциальным уравнениям, что приводит к бессмысленному результату. Если же шаг выбран слишком малым, то расчет ведется с большими затратами машинного времени, а накопление ошибок округления приводит к существенному искажению решения. Поэтому программные реализации численных методов интегрирования должны включать процедуру выбора шага, автоматически учитывающую особенности каждого решаемого уравнения состояния. Причем для создания эффективных и надежных программ численного интегрирования требуются такие процедуры, которые при минимальных вычислительных затратах обеспечивают выбор шага дискретизации, близкого к оптимальному. Применительно к реализации классических методов интегрирования подобным требованиям отвечают алгоритмы выбора шага, основанные на правиле Рунге, позволяющем оценить погрешность численного решения дифференциальных уравнений.

При численном интегрировании дифференциальное уравнение (6.8) заменяют разностным уравнением, устойчивость которого зависит уже не только от спектра матрицы А, но и от параметров разностной схемы. Для оценки устойчивости разностных схем расще-

Проанализируем трудности, возникающие при численном интегрировании подобных уравнений. Как было показано в § 6.3, выбор шага, обеспечивающего заданный тип устойчивости решения, должен подчиняться определенным условиям, зависящим от собственных чисел матрицы уравнений состояния, или, что то же, от корней характеристического уравнения. Например, при использовании явного метода Эйлера шаг интегрирования, обеспечивающий асимптотическую устойчивость решения, должен удовлетворять условию 1 + АА,<1. Для примера 6.2 это условие равносильно двум неравенствам l + /tXi = 1— /1-2- 1010<1; 1 1+/а2 = 1— h- 10<1, решая которые получаем следующие ограничения на шаг: й<10~10; /г<0,2. Следовательно, при интегрировании данной системы уравнений шаг должен быть ограничен значением /i<10~10, определяемым минимальной постоянной времени ттш=;Т1== l/M ~0,5- К)-10 с. Длительность переходного процесса зависит от максимальной постоянной времени цепи:

При численном интегрировании с помощью квадратурных формул [7], оптимальных на том или ином классе подынтегральных функций, осуществляются вычисления

На основе условия (5.29) необходимый запас разрядной сетки процессора при численном интегрировании определяется соотношением

и численном интегрировании уравнения движения