Центральной предельной

Очевидно, что функция является четной и должна быть дополнена соответствующей ветвью при г/<0. Сказанное здесь отображается графиком на III.6.2. Следует обратить внимание на то, что плотность вероятности суммы трех независимых случайных величин отображается вполне «гладкой» кривой, несмотря на то, что плотность вероятности отдельных слагаемых носит разрывный характер. В этом проявляется закон, согласно которому при неограниченном увеличении числа слагаемых закон распределения суммы асимптотически стремится к нормальному (центральная предельная теорема в теории вероятностей).

17.9. Нормальные случайные процессы. Центральная предельная теорема

При этих условиях полностью применима центральная предельная теорема (см. § 3.1) и случайный процесс, соответствующий электронному току лампы, следует рассматривать как стационарный нормальный процесс с плотностью вероятности

Рассмотрим первый источник на примере дробового эффекта, присущего электронному току в усилительных приборах. Этот ток представляет собой совокупность импульсов, каждый из которых обусловлен переносом заряда одного электрона. Полный ток, являющийся суммой очень большого числа перекрывающихся, расположенных случайным образом на оси времени импульсов, представляет собой стационарный эргодический случайный процесс, для которого справедлива центральная предельная теорема1. Поэтому распределение электронного тока можно считать нормальным с плотностью вероятности

1 Центральная теорема теории вероятностей формулируется так: если имеется достаточно большое число независимых случайных величин, то сумма их будет подчиняться нормальному закону распределения даже тогда, когда случайные величины не подчиняются нормальному закону. При этом предполагается, что ни одна из этих слагаемых величин существенно не преобладает над остальными. Практически центральная предельная теорема может приме-.няться при 4—5 слагаемых.

центральная предельная 155 Тепловой пункт 31 Теплоснабжение 32

2.1.6. Суммы случайных величин и центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема. В этом разделе рассмотрим чрезвычайно полезную теорему, касающуюся ИФР суммы случайных величин в пределе, когда число ;яагаемых суммы неограниченно возрастает. Имеется несколько версий этой теоремы. Докажем теорему для случая, когда случайные суммируемые величины X,, /=1,2, ...,п, ;татистически независимы и одинаково распределены, каждая из них имеет ограниченное

Но это как раз характеристическая функция гауссовской случайной величины нулевым средним и единичной дисперсией. Таким образом, мы имеем важный результа^ ФПВ суммы статистически независимых и одинаково распределенных случайных велич! с ограниченным средним и дисперсией приближается к гауссовской при п—не. Этф> результат известен как центральная предельная теорема. ^

I с) Рассмотрите ФПВ У в пределе при я-»оо. Работает ли центральная предельная теорема? Обоснуйте ваш

где rjn предполагается гауссовским с нулевым средним (здесь использована центральная предельная теорема теории вероятностей для остаточной МСИ и аддитивного шума), {/(!) и {rjn} статистически независимы, а {/„}- статистически независимые и одинаково распределенные случайные величины, тогда оценка по минимуму СКО равна

Для этого достаточно определить эллипс рассеивания точек падения снарядов и плотность их распределения внутри этого эллипса. На отклонение точки падения от центра этого эллипса будут влиять следующие случайные факторы: небольшие отклонения в весе порохового заряда, параметры качки корабля на волне, влияние порывов ветра на летящий снаряд, влияние полос дождя на летящий снаряд. Плотности вероятностей для каждого из этих факторов и их вес известны. В то же время факторов не так много, чтобы их влияние можно было просто проссумировать по центральной предельной теореме и суммарный закон распределения вероятности свести к гауссовскому.

После прохождения через высокодобротный колебательный контур выходной процесс в любой момент времени будет являться суммой многих соизмеримых по величине составляющих. В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей распределение суммы станет весьма близким к нормальному ( 7.12, 7.13). Поэтому коэффициенты асимметрии и эксцесса выходного процесса будут близки к нулю.

В данном случае очевиден эффект денормализации случайного процесса на выходе линейной цепи, объясняемый тем, что при дифференцировании процесса подчеркиваются высокочастотные составляющие процесса и нарушаются условия центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Формирование случайных чисел с нормальным распределением. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей распределение суммы п независимых равномерно распределенных чисел стремится к нормальному при и->-оо.

можно найти функции распределения напряжения сигнала на выходе схемы, соответствующие 1 и 0, р(ис/1) и р(мс/0). Для простоты положим, что дестабилизирующие факторы удовлетворяют условиям центральной предельной теоремы. Тогда законы распределения сигналов на выходе цифровой схемы, соответствующие 1 и 0, — нормальные ( 4.15). Вероятность ошибки при работе схемы, т. е. вероятность того, что 1 будет принята за О, или 0 будет принят за 1:

Общую схему метода Монте-Карло можно представить следующим образом [4]. Пусть требуется найти неизвестную величину х с математическим ожиданием .VI [х] ~ А и дисперсией D [х] -= — В~, Положим, что получи/и N независимых случайных величин xt, i •=• 1, N, распределенных так же, как и величина х. Следовательно, М UJ -- A, D [xt ] — В2, i = 1, N. При достаточно большом N согласие центральной предельной теореме

Согласно центральной предельной теореме нормальное распределение имеет погрешность, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых составляющих, ни одна из которых не является доминирующей. При этом составляющие погрешности могут иметь и различные распределения.

Вид функции плотности вероятности, как отмечалось в гл. 1, характеризует закон распределения случайной величины. Поскольку случайную вибрацию можно рассматривать как сумму множества независимых и мало отличающихся мгновенных случайных воздействий, то в соответствии с центральной предельной теоремой, распределение этих воздействий будет подчиняться нормальному закону. В этом случае вибрацию можно характеризовать математическим ожиданием и генеральной (или выборочной) дисперсией. Математическое ожидание представляет собой среднее арифметическое мгновенных значений вибрации за время наблюдения, а выборочная дисперсия определяет разброс мгновенных значений случайной вибрации относительно среднего значения. Однако могут возникать такие случаи, когда при одинаковых М[Х] и d процессы будут отличаться друг от друга за счет различной частоты (т. е. растянутости их вдоль оси времени). Поэтому удобнее случайную вибрацию изучать с помощью метода частотного анализа, позволяющего описывать случайный процесс не во временной, а в частотной области. В связи с этим очень часто случайную вибрацию рассматривают как сумму бесконечно большого числа гармонических колебаний. Тогда мощность представит собой суммарную мощность всех синусоидальных составляющих в рассматриваемом диапазоне частот. Эта величина, называемая спектральной мощностью, пропорциональна сумме квадратов амплитуд всех синусоидальных составляющих, заключенных в пределах частотной полосы. Однако при анализе случайной вибрации в частотной области пользуются 178

Согласно центральной предельной теореме нормальное распределение имеет погрешность, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых составляющих, ни одна из которых не является доминирующей. При этом составляющие погрешности могут иметь и различные распределения.

В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей является нормальный закон (Гаусса), который базируется на центральной предельной теореме теории вероятностей х.

Первый способ базируется на центральной предельной теореме: если число суммируемых .независимых составляющих достаточно велико (практически при п Ss 5) 1, то результирующий закон распределения близок к нормальному и в качестве коэффициента k^ можно принимать гр.