Алгебраических дополнений

Несинусоидальность формы кривой тока в катушке чрезвычайно затрудняет количественный анализ процессов в электрической и магнитной цепях. Для таких цепей невозможно строить векторные диаграммы, так как последние характеризуют только гармонически изменяющиеся величины. Следовательно, нельзя использовать комплексный метод и алгебраические уравнения для расчета цепи. Поэтому широкое применение получил расчетный прием замены реального несинусоидального тока ( катушки эквивалентным синусоидальным током г'Эк„ при условии равенства их действующих значений. В некоторых случаях несинусоидальный ток заменяется только его первой гармоникой. Действующее значение тока

ской точки зрения преобразования Лапласа являются функциональными, в них функция вещественного переменного ставится в соответствие функции комплексного переменного р. Таким путем при преобразовании по Лапласу дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения относительно величины р. Существует еще операторная форма записи дифференциальных уравнений, при которой действие дифференцирования обозначается знаком

ФПа -= Lrrri« -(- Misia, Wr2a, — Lrzr2« 4" Mi^' Wsi$ = L^ 4- Min?, WS2? •= Lsis2? 4- Mir29, Wm = Wi3 4- Misi?, Wr2? — Lrir29 4- Mis2?. Решив алгебраические уравнения, входящие в общую систему уравнений (5.5), относительно токов /на, ir2a, t'ripi t'r2p» выраженных через потокосцепления 4fria, ^np» 4?r2a> Vrzp (5.6), получим dirla/dt= ш,1. + (6/М)Тг,« — irl.(fl + C) — (p*>rloLr)Vri9, dim/dt = au,

Решив алгебраические уравнения, входящие в общую систему уравнений (5.8), относительно токов /ria, J^a> 'rip, top, выраженных через пото-

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд к анализу установившегося синусоидального режима в линейных цепях. После введения понятий комплексного сопротивления, комплексных сопротивлений и проводимостей основных элементов цепи, а также установления законов Кирхгофа для комплексных амплитуд токов и напряжений ветвей нет необходимости в предварительном составлении систем дифференциальных уравнений цепи во временной области и последующем их преобразовании в алгебраические уравнения для комплексных амплитуд.

денного режима, сводящийся к определению комплексных амплитуд реакций, производится в частотной области ч) аналогично анализу установившегося синусоидального режима. Лишь в алгебраические уравнения для комплексных амплитуд вместо /со будет входить комплексная частота s, в которую неявно входит мнимая единица. Это у сокращает промежуточные выкладки: вместо алгебры комплексных чисел применяется обычная алгебра с переменной s. Поэтому часто анализ установившегося синусоидального режима производят, выражая сигналы через обобщенные экспоненты, т. е. полагая /co = s. В конце расчетов необходимо положить s = /co.

Уравнения (9.30)— (9.39), связывающие токи и напряжения элементов, представляют линейные алгебраические уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, зависимые источники следует отнести к классу линейных резистивных четырехполюсных элементов. Коэффициентами уравнений (9.38) и (9.39) являются соответственно параметры сопротивлений и параметры проводимостей, матрицы которых имеют вид:

что позволяет проанализировать и случай вырождений этих дифференциальных уравнений в чисто алгебраические уравнения

3. В топологические уравнения подставляются линеризован-ные и алгебраизованные компонентные уравнения, в результате получаются алгебраические уравнения относительно вектора независимых переменных напряжений и (или) токов схемы, которые решаются численными методами.

Таким образом, комплексный метод является методом алгебра-изации дифференциальных уравнений. Сущность его заключается в том, что сначала все заданные функции времени заменяем их кбмплекскыми изображениями и все дифференциальные и алгебраические уравнения, составленные по законам Кирхгофа, заменяем алгебраическими уравнениями в комплексной форме, содержащими комплексные величины заданных и искомых функций и их производных и интегралов. Решая эти алгебраические уравнения, находим комплексные выражения искомых функций и от них переходим к оригиналам этих функций.

ренциальным уравнением первого порядка. Если в контур, для которого записывается уравнение согласно второму закону Кирх* гофа, войдет только одна индуктивная катушка, то оно также будет дифференциальным уравнением первого порядка. Такие условия можно обеспечить, если отнести все ветви с конденсаторами к вет-. вям дерева, а ветви с индуктивными катушками — к связям. Поскольку зетвь дерева определяет сечение в графе схемы, для которого составляется баланс токов согласно первому закону Кирхгофа, то нее уравнения сечений, определяемые ветвями дерева с конденсаторами, окажутся дифференциальными уравнениями первого порядка. Если ветвь дерева содержит резистор, то уравнение будет алгебэаическим. Поскольку связи определяют контуры, то уравнения длл напряжений в контурах согласно второму закону Кирхгофа при наличии в связях индуктивных катушек окажутся дифференциальными уравнениями первого порядка. Если связь содержит резнстивный элемент, то уравнение будет алгебраическим. Исключиз алгебраические уравнения путем их решения через переменные состояния, можно получить систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния. Обозначим переменные состояния буквами хъ х2, ..., х„. Тогда транспонированная матрица-столбец переменных состояния будет X' = = j Xi x2 ... ха ]j . В матричной форме система дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде

б) транспонируют полученную матрицу алгебраических дополнений, для чего строки и столбцы ее взаимно меняют местами;

где А " — присоединенная матрица к А. Матрицу А " , определяем как транспонированную к матрице алгебраических дополнений для А:

Выведенные параметры, равные отношениям алгебраических дополнений к определителю:

Параметры, равные отношениям алгебраических дополнений к определителю системы:

Согласно (8.1), фуНКЦИИ Ц6ПИ (ВХОДНаЯ ПРОВОДИМОСТЬ И Проводимость Передачи) ЯВЛЯЮТСЯ Отношениями алгебраических дополнений к самому определителю:

Отсюда видно, что для определения токов ветвей нужно аналогично 5тоду контурных токов составить обратную матрицу А-1 из опреде-1теля и алгебраических дополнений, умножить на нее столбцовую атрицу g и приравнять одноименные строки этого произведения и олбцовой матрицы токов I.

димостеи или матрицы проводимостей сечений и их q — 1 алгебраических дополнений или же к нахождению определителя матрицы контурных сопротивлений и его п алгебраических дополнений. При высоком: порядке этих матриц такое обращение связано с большим числом вычислительных операций. Если воспользоваться формулой Крамера, согласно которой записаны выражения для контурных токов и узловых напряжений в § 5-11, 5-12, т. е. непосредственно раскрыть определители при решении системы с m неизвестными, то потребуется выполнить порядка m -ml арифметических операций. Уже для системы уравнений с m = 15 число операций достигает 2-Ю13. И даже использование мощной вычислительной машины, которая может выполнить 106 операций в секунду, время решения затянется на 2-Ю7 с = 5,5-Ю3 ч. Этими формулами имеет смысл пользоваться, если m <; 10. По этой причине систему уравнений решают главным образом методом исключения по Гауссу (или его разновидностями). Этот метод требует выполнения меньшего числа операция — порядка 2т3. Однако и такой способ решения имеет смысл поименять при т < 1000, так как уже для m = 1000 число операций равно 2-109 и вычислительная машина с производительностью 1 06 операций в секунду такие задачи будет решать в течение 33 мин. Метод непосредственного раскрытия определителей и метод Гаусса позволяют при отсутствии округлений найти точное решение задачи.

Из симметрии матрицы сопротивлений (rm = rni) следует симметрия алгебраических дополнений (Ani—Ain), а следовательно, и элементов матрицы проводимостей:

Элементами определителя системы и алгебраических дополнений в выражениях (7-9) и (7-10) служат собственные и общие сопротивления контуров заданной электрической цепи. Определитель Az имеет размерность сопротивления в степени п, где п — порядок определителя (равный числу независимых контуров данной цепи); алгебраические дополнения Ац и A{h имеют размерность сопротивления в степени п—1. В результате деления алгебраического дополнения на определитель системы получается величина, имеющая размерность проводимости.

Элементами определителя системы и алгебраических дополнений

Элементами определителя системы и алгебраических дополнений в выражениях (7-9) и (7-10) служат собственные и общие сопротивления контуров заданной электрической цепи. Определитель Аг имеет размерность сопротивления в степени п, где п — порядок определителя (равный числу независимых контуров данной цепи); алгебраические до-